回転カール電卓

任意の2Dまたは3Dベクトル場の回転 ∇×F を、外積の行列式展開を用いてステップバイステップで計算します。成分関数 P、Q（3Dの場合は R も）を入力し、記号的な回転の取得、特定点での評価、非回転場の特定、および渦度オーバーレイ付きのインタラクティブなベクトル場可視化を表示します。

回転カール電卓

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回転カール電卓

回転カール計算機は、ステップごとの外積行列式展開を伴い、任意の2Dまたは3Dベクトル場のカール ∇×F を計算します。ベクトル場の成分 P、Q（および3Dの場合は R）を入力し、必要に応じて評価点を指定すると、記号的なカール、回転の分類を取得できます。2D場については、渦度ヒートマップと場の回転挙動を示すアニメーションパーティクルフローによるインタラクティブな可視化も提供されます。

カール（回転）とは何ですか？

ベクトル場 $\mathbf{F}$ のカール（回転）は、各点における場の微小な回転を測定します。3D場 $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ の場合、カールは外積として計算されます。

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

行列式を展開すると、次のカールベクトルが得られます。

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

2D場 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ の場合、カールはスカラー $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ に簡略化され、xy平面における回転を表します。

カールの物理的意味

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反時計回りの回転 (curl > 0)

ここに小さな水車を置くと、反時計回りに回転します。場は正の方向に循環しています。

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時計回りの回転 (curl < 0)

ここに小さな水車を置くと、時計回りに回転します。場は負の方向に循環しています。

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非回転的 (curl = 0)

正味の回転はありません。場は保存的であり、F = ∇φ となるポテンシャル関数 φ が存在します。

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ストークスの定理

カールの面積分は、境界に沿った線積分に等しくなります（循環 = 全回転量）。

異なる座標系におけるカールの公式

座標系	カールの公式
デカルト 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (スカラー)
デカルト 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
円筒座標系	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
球座標系	スケール因子 $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$ を使用した全展開を参照

カールに関する重要な恒等式

恒等式	公式
勾配のカール	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (常にゼロ — 勾配は非回転的)
カールの発散	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (常にゼロ — カールは管状的)
線形性	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
積の微分規則	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
ストークスの定理	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

カールの応用

分野	応用	カールの意味
電磁気学	ファラデーの法則	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — 変化する磁場が循環する電場を生む
電磁気学	アンペールの法則	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — 電流が循環する磁場を生む
流体力学	渦度	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — 流体が局所的にどのように回転しているかを測定
力学	角速度	剛体回転 $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ の場合、カールは $2\boldsymbol{\omega}$ となる
保存力場	経路独立性	$\nabla \times \mathbf{F} = 0$ ならば、線積分は経路に依存せず、ポテンシャルが存在する

回転カール計算機の使い方

次元を選択する: 切り替えボタンを使用して、場 F = ⟨P, Q⟩ (スカラーカール) の 2D または F = ⟨P, Q, R⟩ (ベクトルカール) の 3D を選択します。
成分関数を入力する: 標準的な記法を使用して、各成分関数（P、Q、およびオプションで R）を入力します。指数には ^、乗算には * を使用し、sin(x)、cos(y)、exp(x)、ln(x)、sqrt(x) などの関数を使用できます。暗黙の乗算（例：2x = 2*x）もサポートされています。
評価点を入力する (オプション): カールを数値的に評価し、回転方向を分類するために、カンマで区切った座標を入力します。
カールの計算をクリック: 記号的なカール、ステップごとの外積行列式展開、数値評価、および回転の分類を表示します。
可視化を確認する: 2D場については、ベクトル場の矢印とともに、渦度ヒートマップ（オレンジ = 反時計回り、紫 = 時計回り）とアニメーションパーティクルフローを表示します。

計算例

点 $(1, 2, 3)$ における $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ のカールを求めます。

ステップ 1: 行列式を書きます。 $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

ステップ 2: 展開します。 $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

ステップ 3: カールは恒等的にゼロです。つまり、この場は非回転的（保存的）です。実際、$\mathbf{F} = \nabla(xyz)$ であり、ポテンシャル関数が存在することが確認できます。

カール vs. 発散

特性	カール (∇×F)	発散 (∇·F)
演算の種類	∇との外積	∇との内積
出力	ベクトル (3D) / スカラー (2D)	スカラー
測定対象	回転 / 循環	拡大 / 収縮
ゼロの場合の意味	非回転的 / 保存的	管状的 / 非圧縮性
定理	ストークスの定理	発散（ガウス）定理

FAQ

ベクトル場のカールとは何ですか？

ベクトル場のカール（回転）は、各点における回転または循環の傾向を測定します。3D場 F = (P, Q, R) の場合、カールはナブラ演算子と F の外積（∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y)）によって計算されるベクトルです。正のカールは反時計回りの回転を、負のカールは時計回りの回転を示します。

カールの計算方法は？

3Dベクトル場のカールを計算するには、1行目に単位ベクトル i, j, k、2行目に偏微分演算子 ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z、3行目に場の成分 P, Q, R を配置した 3×3 の行列式を設定します。1行目に沿った余因子展開を使用して行列式を展開し、カールベクトルの各成分を求めます。

カールがゼロであることは何を意味しますか？

カールがどこでもゼロである場合、そのベクトル場は「非回転的」または「保存力場」と呼ばれます。これは、F = ∇φ となるスカラーポテンシャル関数 φ が存在し、任意の閉路に沿った F の線積分がゼロであることを意味します。重力場や静電場は非回転的場の典型的な例です。

カールと発散の違いは何ですか？

カールは回転を測定して（3Dでは）ベクトルを生成するのに対し、発散（ダイバージェンス）は拡大または収縮を測定してスカラーを生成します。カールはナブラとの外積 (∇×F) を使用し、発散は内積 (∇·F) を使用します。場は、ゼロでないカールを持ちながらゼロの発散を持つことも（例：F = (−y, x, 0)）、ゼロのカールを持ちながらゼロでない発散を持つことも（例：F = (x, y, z)）あります。

カールの物理的な意味は何ですか？

物理的には、カールはベクトル場がある点の周りを循環または回転しようとする傾向を測定します。流体の流れの中に小さな水車を置いたと想像してください。カールはその水車がどのくらいの速さで、どの方向に回転するかを教えてくれます。電磁気学では、カールはファラデーの法則（変化する磁場が循環する電場を生む）やアンペールの法則（電流が循環する磁場を生む）に登場します。流体力学では、速度のカールは「渦度」と呼ばれます。

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：

"回転カール電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/回転カール計算機/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

MiniWebtool チームによる作成。最終更新日: 2026-04-08

また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。

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回転カール電卓

カール（回転）とは何ですか？

カールの物理的意味

異なる座標系におけるカールの公式

カールに関する重要な恒等式

カールの応用

回転カール計算機の使い方

計算例

カール vs. 発散

FAQ

微積分:

おすすめ:

座標系	カールの公式
デカルト 2D	\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (スカラー)
デカルト 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
円筒座標系	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
球座標系	スケール因子 \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\) を使用した全展開を参照

恒等式	公式
勾配のカール	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (常にゼロ — 勾配は非回転的)
カールの発散	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (常にゼロ — カールは管状的)
線形性	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
積の微分規則	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
ストークスの定理	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

分野	応用	カールの意味
電磁気学	ファラデーの法則	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — 変化する磁場が循環する電場を生む
電磁気学	アンペールの法則	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — 電流が循環する磁場を生む
流体力学	渦度	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — 流体が局所的にどのように回転しているかを測定
力学	角速度	剛体回転 \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\) の場合、カールは \(2\boldsymbol{\omega}\) となる
保存力場	経路独立性	\(\nabla \times \mathbf{F} = 0\) ならば、線積分は経路に依存せず、ポテンシャルが存在する