cURL 계산기

벡터장의 성분 함수를 입력하면 2차원·3차원 회전(curl)을 식으로 구하고 계산 과정을 보여줍니다. 특정 점에서의 값을 계산하고 비회전장 여부와 회전의 세기를 나타내는 그래프도 확인할 수 있습니다.

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cURL 계산기 정보

컬 계산기는 모든 2D 또는 3D 벡터장의 컬(∇×F)을 단계별 외적 행렬식 전개 과정과 함께 계산합니다. 벡터장 성분 P, Q(3D의 경우 R 포함)를 입력하고, 선택적으로 특정 지점을 평가하여 기호화된 컬, 회전 분류를 확인할 수 있습니다. 2D 필드의 경우, 와도(vorticity) 히트맵과 애니메이션 입자 흐름을 통해 필드의 회전 특성을 보여주는 대화형 시각화 기능도 제공합니다.

컬(Curl)이란 무엇입니까?

벡터장 $\mathbf{F}$의 컬은 각 지점에서 필드의 미소 회전 정도를 측정합니다. 3D 장 $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$의 경우, 컬은 다음과 같이 외적으로 계산됩니다.

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

행렬식을 전개하면 컬 벡터를 얻을 수 있습니다.

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

2D 장 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$의 경우, 컬은 xy 평면에서의 회전을 나타내는 스칼라 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$로 단순화됩니다.

컬의 물리적 의미

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반시계 방향 회전 (curl > 0)

이곳에 놓인 작은 물레방아는 반시계 방향으로 회전합니다. 필드가 양의 방향으로 순환합니다.

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시계 방향 회전 (curl < 0)

이곳에 놓인 작은 물레방아는 시계 방향으로 회전합니다. 필드가 음의 방향으로 순환합니다.

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비회전 (curl = 0)

순 회전이 없습니다. 즉, 필드가 보존장입니다. F = ∇φ를 만족하는 퍼텐셜 함수 φ가 존재합니다.

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스토크스 정리

컬의 면적분은 경계를 따라 흐르는 선적분과 같습니다. (순환 = 총 회전량)

좌표계별 컬 공식

좌표계	컬 공식
데카르트 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (스칼라)
데카르트 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
원통 좌표계	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
구면 좌표계	척도 인자 $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$를 사용한 전체 전개식 참조

컬과 관련된 주요 항등식

항등식	공식
그래디언트의 컬	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (항상 0 — 그래디언트는 비회전성임)
컬의 발산	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (항상 0 — 컬은 비발산성임)
선형성	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
곱의 미분 법칙	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
스토크스 정리	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

컬의 응용

분야	응용 사례	컬의 의미
전자기학	패러데이 법칙	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — 변하는 자기장은 순환하는 전기장을 형성함
전자기학	앙페르 법칙	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — 전류는 순환하는 자기장을 형성함
유체 역학	와도 (Vorticity)	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — 유체가 국소적으로 어떻게 회전하는지 측정함
역학	각속도	강체 회전 $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$에 대해, 컬은 $2\boldsymbol{\omega}$가 됨
보존장	경로 독립성	$\nabla \times \mathbf{F} = 0$인 경우, 선적분은 경로에 독립적이며 퍼텐셜이 존재함

컬 계산기 사용 방법

차원 선택: 토글 버튼을 사용하여 F = ⟨P, Q⟩(스칼라 컬)의 경우 2D를, F = ⟨P, Q, R⟩(벡터 컬)의 경우 3D를 선택합니다.
성분 함수 입력: 표준 표기법을 사용하여 각 성분 함수(P, Q, 선택 사항으로 R)를 입력합니다. 지수에는 ^를, 곱셈에는 *를 사용하며 sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x)와 같은 함수를 사용할 수 있습니다. 암시적 곱셈도 지원됩니다 (예: 2x = 2*x).
평가 지점 입력 (선택 사항): 쉼표로 구분된 좌표를 입력하여 컬을 수치적으로 계산하고 회전 방향을 분류합니다.
컬 계산 클릭: 기호화된 컬, 단계별 외적 행렬식 전개 과정, 수치 평가 및 회전 분류 결과를 확인합니다.
시각화 탐색: 2D 필드의 경우, 와도 히트맵(주황색 = 반시계 방향, 보라색 = 시계 방향) 및 애니메이션 입자 흐름과 함께 벡터장 화살표를 확인합니다.

풀이 예시

지점 $(1, 2, 3)$에서 $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$의 컬을 구합니다.

단계 1: 행렬식 작성: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

단계 2: 전개: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

단계 3: 컬이 0입니다. 즉, 이 필드는 비회전(보존장)입니다. 실제로 $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$이므로 퍼텐셜 함수가 존재함을 확인할 수 있습니다.

컬 vs 발산 (Curl vs. Divergence)

특성	컬 (∇×F)	발산 (∇·F)
연산자 유형	∇와의 외적	∇와의 내적
출력값	벡터(3D) / 스칼라(2D)	스칼라
측정 대상	회전 / 순환	팽창 / 수축
0의 의미	비회전 / 보존장	비발산 / 비압축성
관련 정리	스토크스 정리	발산 정리 (가우스 정리)

자주 묻는 질문 (FAQ)

벡터장의 컬(Curl)이란 무엇입니까?

벡터장의 컬은 각 지점에서의 회전 또는 순환 경향을 측정합니다. 3D 필드 F = (P, Q, R)의 경우, 컬은 나블라 연산자와 F의 외적을 통해 계산되는 벡터입니다: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). 양의 컬은 반시계 방향 회전을, 음의 컬은 시계 방향 회전을 나타냅니다.

컬은 어떻게 계산합니까?

3D 벡터장의 컬을 계산하려면 첫 번째 행에 단위 벡터 i, j, k를, 두 번째 행에 편미분 연산자 ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z를, 세 번째 행에 필드 성분 P, Q, R을 배치하여 3×3 행렬식을 만듭니다. 첫 번째 행을 기준으로 여인수 전개를 사용하여 컬 벡터의 각 성분을 구합니다.

컬이 0이라는 것은 무엇을 의미합니까?

모든 곳에서 컬이 0일 때, 해당 벡터장을 비회전 또는 보존장이라고 합니다. 이는 F = ∇φ를 만족하는 스칼라 퍼텐셜 함수 φ가 존재하며, 임의의 폐곡선에 대한 F의 선적분이 0임을 의미합니다. 중력장과 정전기장이 비회전장의 대표적인 예입니다.

컬과 발산(Divergence)의 차이점은 무엇입니까?

컬은 회전을 측정하고 벡터(3D 기준)를 생성하는 반면, 발산은 팽창 또는 수축을 측정하고 스칼라를 생성합니다. 컬은 나블라와 F의 외적(∇×F)을 사용하고, 발산은 내적(∇·F)을 사용합니다. 어떤 장은 컬이 0이 아니면서 발산이 0일 수도 있고 (예: F = (−y, x, 0)), 컬이 0이면서 발산이 0이 아닐 수도 있습니다 (예: F = (x, y, z)).

컬의 물리적 의미는 무엇입니까?

물리적으로 컬은 벡터장이 특정 지점을 중심으로 순환하거나 회전하려는 경향을 측정합니다. 유체 흐름에 아주 작은 물레방아를 놓는다고 상상해 보세요. 컬은 그 물레방아가 얼마나 빨리, 어느 방향으로 회전할지를 알려줍니다. 전자기학에서 컬은 패러데이 법칙(자기장의 변화가 순환하는 전기장을 생성)과 앙페르 법칙(전류가 순환하는 자기장을 생성)에 등장합니다. 유체 역학에서 속도의 컬은 와도라고 합니다.

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miniwebtool 팀 제작. 업데이트: 2026-04-08

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미적분학:

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미적분

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좌표계	컬 공식
데카르트 2D	\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (스칼라)
데카르트 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
원통 좌표계	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
구면 좌표계	척도 인자 \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)를 사용한 전체 전개식 참조

항등식	공식
그래디언트의 컬	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (항상 0 — 그래디언트는 비회전성임)
컬의 발산	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (항상 0 — 컬은 비발산성임)
선형성	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
곱의 미분 법칙	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
스토크스 정리	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

분야	응용 사례	컬의 의미
전자기학	패러데이 법칙	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — 변하는 자기장은 순환하는 전기장을 형성함
전자기학	앙페르 법칙	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — 전류는 순환하는 자기장을 형성함
유체 역학	와도 (Vorticity)	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — 유체가 국소적으로 어떻게 회전하는지 측정함
역학	각속도	강체 회전 \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\)에 대해, 컬은 \(2\boldsymbol{\omega}\)가 됨
보존장	경로 독립성	\(\nabla \times \mathbf{F} = 0\)인 경우, 선적분은 경로에 독립적이며 퍼텐셜이 존재함