Máy tính Divergence

Tính toán độ phân kỳ ∇·F của bất kỳ trường vectơ 2D hoặc 3D nào với các bước tính đạo hàm riêng chi tiết. Nhập các hàm thành phần P, Q (và R cho 3D), nhận kết quả divergence bằng biểu thức, đánh giá tại một điểm, xác định nguồn (source) và hố (sink), đồng thời xem trực quan hóa trường vectơ tương tác với bản đồ nhiệt divergence.

Máy tính Divergence

Embed Máy tính Divergence Widget

Giới thiệu về Máy tính Divergence

Máy tính Divergence tính toán độ phân kỳ ∇·F của bất kỳ trường vectơ 2D hoặc 3D nào với tính toán đạo hàm riêng từng bước đầy đủ. Nhập các thành phần trường vectơ của bạn P, Q (và R cho 3D), tùy chọn đánh giá tại một điểm cụ thể và nhận divergence ký hiệu, phân loại nguồn/đích, và đối với các trường 2D, một trực quan hóa tương tác với bản đồ nhiệt độ phân kỳ và dòng chảy hạt hoạt hình.

Divergence là gì?

Divergence (độ phân kỳ) của một trường vectơ $\mathbf{F}$ là một toán tử giá trị vô hướng đo lường tốc độ mà trường "lan tỏa" ra từ một điểm. Đối với trường vectơ 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Đối với trường 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, divergence là $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. Divergence là một khái niệm cơ bản trong giải tích vectơ, động lực học chất lưu, điện từ học và phương trình vi phân.

Ý nghĩa vật lý của Divergence

🔴

Nguồn (∇·F > 0)

Chất lưu chảy ra ngoài — lượng ra nhiều hơn lượng vào. Giống như nước phun ra từ một vòi phun.

🔵

Đích (∇·F < 0)

Chất lưu chảy vào trong — lượng vào nhiều hơn lượng ra. Giống như nước thoát vào một cái hố.

🟢

Bằng không (∇·F = 0)

Dòng chảy không nén được — lượng vào bằng lượng ra. Trường này là trường ống (solenoidal).

🔄

Định lý Divergence

Tổng divergence bên trong một thể tích bằng thông lượng ròng qua bề mặt biên của nó.

Công thức Divergence và các hệ tọa độ

Hệ tọa độ	Công thức Divergence
Descartes 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Descartes 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Hệ tọa độ trụ	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Hệ tọa độ cầu	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Các hằng đẳng thức quan trọng liên quan đến Divergence

Hằng đẳng thức	Công thức
Tính tuyến tính	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Quy tắc tích (vô hướng × vectơ)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Curl của gradient	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (luôn luôn)
Toán tử Laplace	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (divergence của gradient = Laplacian)
Định lý Divergence	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Ứng dụng của Divergence

Lĩnh vực	Ứng dụng	Divergence đại diện cho điều gì
Điện từ học	Định luật Gauss	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — mật độ điện tích tạo ra divergence của điện trường
Điện từ học	Từ trường	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — không tồn tại đơn cực từ
Động lực học chất lưu	Phương trình liên tục	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ cho dòng chảy không nén được
Truyền nhiệt	Phương trình nhiệt	Divergence của thông lượng nhiệt liên quan đến sự thay đổi nhiệt độ
Tương đối tổng quát	Phương trình trường Einstein	Điều kiện không phân kỳ trên tensor ứng suất-năng lượng

Cách sử dụng Máy tính Divergence

Chọn số chiều: Chọn 2D cho các trường F = ⟨P, Q⟩ hoặc 3D cho F = ⟨P, Q, R⟩ bằng các nút chuyển đổi.
Nhập các hàm thành phần: Nhập từng hàm thành phần (P, Q và tùy chọn R) bằng ký hiệu tiêu chuẩn. Sử dụng ^ cho số mũ, * cho phép nhân và các hàm như sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Phép nhân ẩn được hỗ trợ (vd: 2x = 2*x).
Nhập điểm đánh giá (tùy chọn): Cung cấp tọa độ cách nhau bằng dấu phẩy để đánh giá divergence bằng số và phân loại điểm đó là nguồn, đích hoặc không nén được.
Nhấp vào Tính toán Divergence: Xem công thức divergence ký hiệu, tính toán đạo hàm riêng từng bước, đánh giá số và phân loại nguồn/đích.
Khám phá trực quan hóa: Đối với các trường 2D, xem các mũi tên trường vectơ với bản đồ nhiệt divergence được mã hóa màu (đỏ = nguồn, xanh dương = đích) và dòng chảy hạt hoạt hình hiển thị hành vi của trường.

Ví dụ minh họa

Tìm divergence của $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ tại điểm $(1, 1)$:

Bước 1: Xác định các thành phần: $P = x$, $Q = y$.

Bước 2: Tính các đạo hàm riêng: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Bước 3: Cộng chúng lại: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Giải thích: Vì $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, mọi điểm đều là một nguồn. Trường giãn nở đều ra bên ngoài — hãy tưởng tượng chất lưu đang được bơm ra ở mọi nơi trong mặt phẳng.

Câu hỏi thường gặp

Divergence của một trường vectơ là gì?

Divergence (độ phân kỳ) là một toán tử vi phân giá trị vô hướng đo lường tốc độ mà một trường vectơ giãn nở hoặc co lại tại một điểm nhất định. Đối với trường 3D F = (P, Q, R), divergence là tổng các đạo hàm riêng: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/dy + ∂R/dz. Divergence dương biểu thị một nguồn (dòng chảy ra ngoài), âm biểu thị một đích (dòng chảy vào trong), và bằng không có nghĩa là dòng chảy không nén được.

Làm thế nào để tính divergence?

Để tính divergence, hãy lấy đạo hàm riêng của từng hàm thành phần đối với biến tương ứng, sau đó cộng tất cả chúng lại. Đối với trường 2D F = (P, Q), hãy tính ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Đối với 3D, hãy cộng thêm ∂R/dz. Kết quả là một hàm vô hướng (không phải vectơ), cho bạn biết mức độ trường đang giãn nở hoặc nén lại tại mỗi điểm.

Divergence bằng không có nghĩa là gì?

Khi divergence bằng không ở mọi nơi, trường vectơ được gọi là trường ống (solenoidal) hoặc không phân kỳ. Trong động lực học chất lưu, điều này có nghĩa là chất lưu không nén được — không có sự giãn nở hoặc co lại ròng tại bất kỳ điểm nào. Từ trường luôn có divergence bằng không (định luật Gauss cho từ tính: ∇·B = 0) và curl của bất kỳ trường vectơ nào luôn không phân kỳ (∇·(∇×F) = 0).

Ý nghĩa vật lý của divergence là gì?

Về mặt vật lý, divergence đo lường thông lượng ra ròng trên mỗi đơn vị thể tích tại một điểm. Hãy tưởng tượng một chiếc hộp nhỏ trong chất lưu: nếu nhiều chất lưu rời khỏi hộp hơn là đi vào, divergence là dương (nguồn). Nếu nhiều hơn đi vào so với đi ra, đó là âm (đích). Khái niệm này là trung tâm của các định luật bảo toàn trong vật lý, xuất hiện trong phương trình liên tục, các phương trình Maxwell và phương trình nhiệt.

Sự khác biệt giữa divergence và curl là gì?

Divergence và curl đều là các toán tử vi phân trên trường vectơ, nhưng chúng đo lường những thứ khác nhau. Divergence (∇·F) đo lường sự giãn nở hoặc co lại và tạo ra một đại lượng vô hướng. Curl (∇×F) đo lường sự xoáy hoặc lưu thông và tạo ra một vectơ. Một trường có thể có divergence khác không nhưng curl bằng không (như F = (x, y)), hoặc divergence bằng không nhưng curl khác không (như F = (−y, x)), hoặc cả hai, hoặc không cái nào.

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Divergence" tại https://MiniWebtool.com/vi// từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 2026-04-08

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Hệ tọa độ	Công thức Divergence
Descartes 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Descartes 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Hệ tọa độ trụ	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Hệ tọa độ cầu	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Hằng đẳng thức	Công thức
Tính tuyến tính	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Quy tắc tích (vô hướng × vectơ)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Curl của gradient	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (luôn luôn)
Toán tử Laplace	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (divergence của gradient = Laplacian)
Định lý Divergence	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Lĩnh vực	Ứng dụng	Divergence đại diện cho điều gì
Điện từ học	Định luật Gauss	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — mật độ điện tích tạo ra divergence của điện trường
Điện từ học	Từ trường	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — không tồn tại đơn cực từ
Động lực học chất lưu	Phương trình liên tục	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) cho dòng chảy không nén được
Truyền nhiệt	Phương trình nhiệt	Divergence của thông lượng nhiệt liên quan đến sự thay đổi nhiệt độ
Tương đối tổng quát	Phương trình trường Einstein	Điều kiện không phân kỳ trên tensor ứng suất-năng lượng

Máy tính Divergence

Giới thiệu về Máy tính Divergence

Divergence là gì?

Ý nghĩa vật lý của Divergence

Công thức Divergence và các hệ tọa độ

Các hằng đẳng thức quan trọng liên quan đến Divergence

Ứng dụng của Divergence

Cách sử dụng Máy tính Divergence

Ví dụ minh họa

Câu hỏi thường gặp

Công cụ nổi bật: