散度計算機

對 2D 或 3D 向量場求散度，並逐步做偏微分。可在指定點求值、辨識源與匯，並以熱圖呈現。

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散度計算機

散度計算機可以計算任何 2D 或 3D 向量場的散度 ∇·F，並提供完整的偏導數逐步計算過程。輸入您的向量場分量 P、Q（以及 3D 的 R），可選擇在特定點進行評估，即可獲得符號散度、源/匯分類；對於 2D 向量場，還能獲得帶有散度熱圖和粒子流動畫的互動式視覺化呈現。

什麼是散度？

向量場 $\mathbf{F}$ 的散度是一個純量值算子，用於測量該向量場從某一點「擴散」出去的速率。對於一個 3D 向量場 $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

對於一個 2D 向量場 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$，其散度為 $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$。散度是向量微積分、流體動力學、電磁學和微分方程式中的基本概念。

散度的物理意義

🔴

源 (∇·F > 0)

流體向外流動 — 流出的比流入的多。就像從噴泉中噴出的水。

🔵

匯 (∇·F < 0)

流體向內流動 — 流入的比流出的多。就像水流進排水孔。

🟢

零 (∇·F = 0)

不可壓縮流 — 流入等於流出。該場為無散場。

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散度定理

體積內的總散度等於通過其邊界表面的淨通量。

散度公式與座標系

座標系	散度公式
笛卡爾 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
笛卡爾 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
柱座標	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
球座標	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

涉及散度的重要恆等式

恆等式	公式
線性性質	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
乘積法則（純量 × 向量）	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
梯度的旋度	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$（始終成立）
拉普拉斯算子	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$（梯度的散度 = 拉普拉斯算子）
散度定理	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

散度的應用

領域	應用	散度代表的意義
電磁學	高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — 電荷密度產生電場散度
電磁學	磁場	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — 不存在磁單極子
流體動力學	連續方程式	對於不可壓縮流 $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$
熱傳導	熱傳導方程式	熱通量的散度與溫度變化相關
廣義相對論	愛因斯坦場方程式	應力-能量張量的無散條件

如何使用散度計算機

選擇維度： 使用切換按鈕選擇 2D 向量場 F = ⟨P, Q⟩ 或 3D 向量場 F = ⟨P, Q, R⟩。
輸入分量函數： 使用標準符號輸入每個分量函數（P、Q，以及可選的 R）。使用 ^ 表示指數，* 表示乘法，並可使用 sin(x)、cos(y)、exp(x)、ln(x)、sqrt(x) 等函數。支援隱式乘法（例如 2x = 2*x）。
輸入評估點（可選）： 提供以逗號分隔的座標以進行散度的數值評估，並將該點分類為源、匯或不可壓縮。
點擊「計算散度」： 查看符號散度公式、逐步偏導數計算過程、數值評估以及源/匯分類。
探索視覺化： 對於 2D 向量場，可以查看帶有顏色編碼散度熱圖（紅色 = 源，藍色 = 匯）的向量場箭頭，以及顯示場行為的粒子流動畫。

計算範例

求向量場 $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ 在點 $(1, 1)$ 處的散度：

步驟 1： 確定分量：$P = x$，$Q = y$。

步驟 2： 計算偏導數：$\frac{\partial P}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$。

步驟 3： 將它們相加：$\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$。

結果解釋： 由於 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$，因此每個點都是一個源。該向量場均勻地向外擴散 — 想像流體在平面上的每個地方都被抽出來。

常見問題

什麼是向量場的散度？

散度是一個純量值微分算子，用於測量向量場在給定點膨脹或收縮的速率。對於 3D 向量場 F = (P, Q, R)，散度是偏導數之和：∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z。正散度表示源（向外流動），負散度表示匯（向內流動），零散度則表示不可壓縮流。

如何計算散度？

要計算散度，請對每個分量函數相對於其相應變數求偏導數，然後將它們全部相加。對於 2D 向量場 F = (P, Q)，計算 ∂P/∂x + ∂Q/∂y。對於 3D 向量場，再加上 ∂R/∂z。結果是一個純量函數（而非向量），它告訴您場在每個點膨脹或壓縮的程度。

散度為零意味著什麼？

當散度在各處均為零時，該向量場被稱為無散場（solenoidal）或無散度場。在流體動力學中，這意味著流體是不可壓縮的 — 在任何一點都沒有淨膨脹或收縮。磁場始終具有零散度（高斯磁定律：∇·B = 0），且任何向量場旋度的散度始終為零 (∇·(∇×F) = 0)。

散度的物理意義是什麼？

在物理上，散度測量一點處單位體積的淨向外通量。想像流體中的一個微小盒子：如果流出盒子的流體多於進入的流體，則散度為正（源）。如果進入的多於流出的，則散度為負（匯）。這個概念是物理學中守恆定律的核心，出現在連續方程式、Maxwell 方程式和熱傳導方程式中。

散度和旋度有什麼區別？

散度和旋度都是向量場上的微分算子，但它們測量的是不同的事物。散度 (∇·F) 測量膨脹或收縮並產生一個純量。旋度 (∇×F) 測量旋轉或循環並產生一個向量。一個場可以具有非零散度但零旋度（如 F = (x, y)），或零散度但非零旋度（如 F = (−y, x)），或兩者皆有，或兩者皆無。

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散度計算機

什麼是散度？

散度的物理意義

散度公式與座標系

涉及散度的重要恆等式

散度的應用

如何使用散度計算機

計算範例

常見問題

微積分:

數學求解

數字與因數

分數與除法

冪、根式與對數

代數與方程

微積分

幾何與三角

熱門與最新工具:

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座標系	散度公式
笛卡爾 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
笛卡爾 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
柱座標	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
球座標	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

恆等式	公式
線性性質	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
乘積法則（純量 × 向量）	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
梯度的旋度	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\)（始終成立）
拉普拉斯算子	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\)（梯度的散度 = 拉普拉斯算子）
散度定理	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

領域	應用	散度代表的意義
電磁學	高斯定律	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — 電荷密度產生電場散度
電磁學	磁場	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — 不存在磁單極子
流體動力學	連續方程式	對於不可壓縮流 \(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\)
熱傳導	熱傳導方程式	熱通量的散度與溫度變化相關
廣義相對論	愛因斯坦場方程式	應力-能量張量的無散條件