발산 계산기

MiniWebtool의 발산 계산기로 벡터장의 원천과 흡수원을 살펴보세요. 2D 또는 3D 벡터장의 성분으로 기호식 ∇·F와 선택적 지점 계산을 구하며, 미분 단계와 2D 흐름 시각화도 제공합니다.

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MiniWebtool의 발산 계산기 사용법을 알고 싶습니다: https://miniwebtool.com/ko/%EB%B0%9C%EC%82%B0-%EA%B3%84%EC%82%B0%EA%B8%B0/. 어떤 용도로 사용할 수 있나요? 필요한 입력이나 설정, 사용 단계와 결과를 읽는 방법을 간단한 예시 하나로 설명해 주세요. 이 페이지를 출처로 삼아 한국어로 답변해 주세요.

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발산은 밖으로 흘러나가는 양: ⟨x, y⟩이면 ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 2, ⟨−y, x⟩이면 0

2차원 또는 3차원 벡터장의 성분과 선택적으로 점을 입력하면, 편미분을 단계별로 보여 주며 발산을 구합니다.

발산 계산기 위젯 삽입

발산 계산기 정보

발산 계산기는 모든 2D 또는 3D 벡터장의 발산 ∇·F를 단계별 편미분 계산과 함께 구합니다. 벡터장 성분 P, Q(3D의 경우 R 포함)를 입력하고, 선택적으로 특정 지점을 지정하면 기호 발산 결과, 소스/싱크 분류, 그리고 2D 장의 경우 발산 히트맵과 애니메이션 입자 흐름이 포함된 대화형 시각화 결과를 제공합니다.

한눈에 보기

발산 계산기는 성분 함수로부터 2D 또는 3D 벡터장의 발산을 계산합니다. 편미분 단계와 함께 기호적 결과를 제시하며, 선택한 점을 원천, 싱크 또는 어느 쪽도 아님으로 분류할 수 있습니다.

발산 계산기: 주요 기능 한눈에 보기
기능	제공 내용	추천 대상
2D와 3D 장	F = (P, Q)와 F = (P, Q, R) 사이를 전환하며 각 성분을 x, y, z에 대한 식으로 입력합니다.	벡터 미적분과 물리 과제
함수 문법	거듭제곱은 ^, 곱셈은 , 함수는 sin, cos, exp, ln, sqrt를 사용합니다. 2x처럼 생략된 곱셈은 2x로 읽습니다.	교과서에 나온 형태 그대로 식 입력하기
기호적 발산	편도함수의 합으로 발산을 구하며 각 편미분 단계를 보여 줍니다.	발산을 손으로 계산한 결과 검산하기
계산 점	선택 사항인 좌표를 입력하면 수치 값과 그 점에서의 분류(원천, 싱크 또는 비압축)를 얻습니다.	그 위치에서 장이 팽창하는지 수축하는지 판단하기
2D 흐름 보기	2D 장에서는 벡터 화살표가 열지도 위에 놓이며(원천은 빨강, 싱크는 파랑), 입자 흐름이 애니메이션으로 나타납니다.	공식뿐 아니라 장의 거동 보기
예시 장	원천, 싱크, 회전 장과 x^2y, xy^2, 3D 예시, sin-cos 예시 같은 장을 버튼으로 불러옵니다.	표준 장에서 시작하기

발산이란 무엇입니까?

벡터장 $\mathbf{F}$의 발산(Divergence)은 장이 한 지점으로부터 "퍼져 나가는" 정도를 측정하는 스칼라 값 연산자입니다. 3D 벡터장 $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$의 경우 다음과 같습니다:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

2D 장 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$의 경우 발산은 $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$입니다. 발산은 벡터 미적분학, 유체 역학, 전자기학 및 미분 방정식에서 핵심적인 개념입니다.

발산의 물리적 의미

🔴

소스 (∇·F > 0)

유체가 밖으로 흐름 — 들어오는 양보다 나가는 양이 많음. 분수에서 솟구치는 물과 같습니다.

🔵

싱크 (∇·F < 0)

유체가 안으로 흐름 — 나가는 양보다 들어오는 양이 많음. 구멍으로 빠져나가는 물과 같습니다.

🟢

제로 (∇·F = 0)

비압축성 흐름 — 들어오는 양과 나가는 양이 같음. 장이 솔레노이드(solenoidal) 성질을 띱니다.

🔄

발산 정리

부피 내부의 총 발산은 경계 표면을 통과하는 순 유속과 같습니다.

좌표계별 발산 공식

발산 계산기: 좌표계별 발산 공식
좌표계	발산 공식
데카르트 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
데카르트 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
원통 좌표계	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
구면 좌표계	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

발산과 관련된 주요 항등식

발산 계산기: 발산과 관련된 주요 항등식
항등식	공식
선형성	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
곱의 미분 (스칼라 × 벡터)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
회전의 발산	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (항상)
라플라시안	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (구배의 발산 = 라플라시안)
발산 정리	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

발산의 응용

발산 계산기: 발산의 응용
분야	응용	발산이 나타내는 것
전자기학	가우스 법칙	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — 전하 밀도가 전기장 발산을 생성함
전자기학	자기장	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — 자기 홀극은 존재하지 않음
유체 역학	연속 방정식	비압축성 흐름의 경우 $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$
열전달	열 방정식	열유속의 발산은 온도 변화와 관련됨
일반 상대성 이론	아인슈타인 중력장 방정식	응력-에너지 텐서의 발산 제로 조건

발산 계산기 사용 방법

차원 선택: 토글 버튼을 사용하여 F = ⟨P, Q⟩인 2D 필드 또는 F = ⟨P, Q, R⟩인 3D 필드를 선택합니다.
성분 함수 입력: 각 성분 함수(P, Q 및 선택 사항인 R)를 표준 표기법으로 입력합니다. 지수는 ^, 곱셈은 *를 사용하며 sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x)와 같은 함수를 사용할 수 있습니다. 암시적 곱셈(예: 2x = 2*x)도 지원됩니다.
계산 지점 입력 (선택 사항): 수치적으로 발산을 계산하고 해당 지점을 소스, 싱크 또는 비압축성으로 분류하려면 쉼표로 구분된 좌표를 제공합니다.
발산 계산 클릭: 기호 발산 공식, 단계별 편미분 계산 과정, 수치 평가 및 소스/싱크 분류 결과를 확인합니다.
시각화 탐색: 2D 장의 경우, 색상으로 구분된 발산 히트맵(빨간색 = 소스, 파란색 = 싱크)과 장의 거동을 보여주는 애니메이션 입자 흐름이 포함된 벡터장 화살표를 확인합니다.

풀이 예시

지점 $(1, 1)$에서 $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$의 발산을 구합니다.

단계 1: 성분 식별: $P = x$, $Q = y$.

단계 2: 편미분 계산: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

단계 3: 합산: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

해석: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$이므로 모든 지점은 소스입니다. 이 장은 균일하게 외부로 확장됩니다. 평면의 모든 곳에서 유체가 뿜어져 나오는 상황을 상상해 보십시오.

FAQ

벡터장의 발산이란 무엇입니까?

발산은 벡터장이 주어진 지점에서 확장되거나 수축되는 비율을 측정하는 스칼라 값 미분 연산자입니다. 3D 필드 F = (P, Q, R)의 경우 발산은 편미분의 합인 ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z입니다. 양의 발산은 소스(외부 흐름), 음의 발산은 싱크(내부 흐름), 0은 비압축성 흐름을 나타냅니다.

발산은 어떻게 계산합니까?

발산을 계산하려면 각 성분 함수를 해당 변수에 대해 편미분한 다음 모두 더합니다. 2D 필드 F = (P, Q)의 경우 ∂P/∂x + ∂Q/∂y를 계산합니다. 3D의 경우 ∂R/∂z를 추가합니다. 결과는 스칼라 함수(벡터가 아님)이며, 각 지점에서 장이 얼마나 팽창하거나 압축되는지를 알려줍니다.

발산이 0이라는 것은 무엇을 의미합니까?

발산이 모든 곳에서 0일 때, 그 벡터장은 솔레노이드(solenoidal) 또는 발산이 없다고 합니다. 유체 역학에서 이는 유체가 비압축성임을 의미하며, 어느 지점에서도 순 확장이나 수축이 없음을 뜻합니다. 자기장은 항상 발산이 0이며(자기학의 가우스 법칙: ∇·B = 0), 모든 벡터장의 회전(curl) 결과에 대한 발산은 항상 0입니다(∇·(∇×F) = 0).

발산의 물리적 의미는 무엇입니까?

물리적으로 발산은 한 지점에서 단위 부피당 순 외부 유속을 측정합니다. 유체 내의 아주 작은 상자를 상상해 보세요. 상자로 들어오는 유체보다 나가는 유체가 많으면 발산은 양수(소스)입니다. 들어오는 양이 더 많으면 음수(싱크)입니다. 이 개념은 물리학의 보존 법칙에서 중심적이며 연속 방정식, 맥스웰 방정식, 열 방정식 등에 등장합니다.

발산과 회전(curl)의 차이점은 무엇입니까?

발산과 회전은 모두 벡터장에 대한 미분 연산자이지만 서로 다른 것을 측정합니다. 발산(∇·F)은 확장 또는 수축을 측정하고 스칼라를 생성합니다. 회전(∇×F)은 회전 또는 순환을 측정하고 벡터를 생성합니다. 어떤 장은 발산은 0이 아니지만 회전은 0일 수 있고(예: F = (x, y)), 발산은 0이지만 회전은 0이 아닐 수도 있으며(예: F = (−y, x)), 둘 다일 수도 있고 둘 다 아닐 수도 있습니다.

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MiniWebtool 팀 제작. 업데이트: 2026-04-08

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좌표계	발산 공식
데카르트 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
데카르트 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
원통 좌표계	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
구면 좌표계	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

항등식	공식
선형성	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
곱의 미분 (스칼라 × 벡터)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
회전의 발산	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (항상)
라플라시안	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (구배의 발산 = 라플라시안)
발산 정리	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

분야	응용	발산이 나타내는 것
전자기학	가우스 법칙	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — 전하 밀도가 전기장 발산을 생성함
전자기학	자기장	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — 자기 홀극은 존재하지 않음
유체 역학	연속 방정식	비압축성 흐름의 경우 \(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\)
열전달	열 방정식	열유속의 발산은 온도 변화와 관련됨
일반 상대성 이론	아인슈타인 중력장 방정식	응력-에너지 텐서의 발산 제로 조건