발산 계산기

단계별 편도함수 계산을 통해 모든 2D 또는 3D 벡터장의 발산 ∇·F를 계산합니다. 성분 함수 P, Q(3D의 경우 R 포함)를 입력하여 기호적 발산을 구하고, 특정 지점에서의 값을 평가하며, 소스(Source)와 싱크(Sink)를 식별하고, 발산 히트맵이 포함된 대화형 벡터장 시각화를 확인하세요.

발산 계산기

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발산 계산기 정보

발산 계산기는 모든 2D 또는 3D 벡터장의 발산 ∇·F를 단계별 편미분 계산과 함께 구합니다. 벡터장 성분 P, Q(3D의 경우 R 포함)를 입력하고, 선택적으로 특정 지점을 지정하면 기호 발산 결과, 소스/싱크 분류, 그리고 2D 장의 경우 발산 히트맵과 애니메이션 입자 흐름이 포함된 대화형 시각화 결과를 제공합니다.

발산이란 무엇입니까?

벡터장 $\mathbf{F}$의 발산(Divergence)은 장이 한 지점으로부터 "퍼져 나가는" 정도를 측정하는 스칼라 값 연산자입니다. 3D 벡터장 $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$의 경우 다음과 같습니다:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

2D 장 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$의 경우 발산은 $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$입니다. 발산은 벡터 미적분학, 유체 역학, 전자기학 및 미분 방정식에서 핵심적인 개념입니다.

발산의 물리적 의미

🔴

소스 (∇·F > 0)

유체가 밖으로 흐름 — 들어오는 양보다 나가는 양이 많음. 분수에서 솟구치는 물과 같습니다.

🔵

싱크 (∇·F < 0)

유체가 안으로 흐름 — 나가는 양보다 들어오는 양이 많음. 구멍으로 빠져나가는 물과 같습니다.

🟢

제로 (∇·F = 0)

비압축성 흐름 — 들어오는 양과 나가는 양이 같음. 장이 솔레노이드(solenoidal) 성질을 띱니다.

🔄

발산 정리

부피 내부의 총 발산은 경계 표면을 통과하는 순 유속과 같습니다.

좌표계별 발산 공식

좌표계	발산 공식
데카르트 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
데카르트 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
원통 좌표계	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
구면 좌표계	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

발산과 관련된 주요 항등식

항등식	공식
선형성	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
곱의 미분 (스칼라 × 벡터)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
회전의 발산	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (항상)
라플라시안	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (구배의 발산 = 라플라시안)
발산 정리	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

발산의 응용

분야	응용	발산이 나타내는 것
전자기학	가우스 법칙	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — 전하 밀도가 전기장 발산을 생성함
전자기학	자기장	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — 자기 홀극은 존재하지 않음
유체 역학	연속 방정식	비압축성 흐름의 경우 $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$
열전달	열 방정식	열유속의 발산은 온도 변화와 관련됨
일반 상대성 이론	아인슈타인 중력장 방정식	응력-에너지 텐서의 발산 제로 조건

발산 계산기 사용 방법

차원 선택: 토글 버튼을 사용하여 F = ⟨P, Q⟩인 2D 필드 또는 F = ⟨P, Q, R⟩인 3D 필드를 선택합니다.
성분 함수 입력: 각 성분 함수(P, Q 및 선택 사항인 R)를 표준 표기법으로 입력합니다. 지수는 ^, 곱셈은 *를 사용하며 sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x)와 같은 함수를 사용할 수 있습니다. 암시적 곱셈(예: 2x = 2*x)도 지원됩니다.
계산 지점 입력 (선택 사항): 수치적으로 발산을 계산하고 해당 지점을 소스, 싱크 또는 비압축성으로 분류하려면 쉼표로 구분된 좌표를 제공합니다.
발산 계산 클릭: 기호 발산 공식, 단계별 편미분 계산 과정, 수치 평가 및 소스/싱크 분류 결과를 확인합니다.
시각화 탐색: 2D 장의 경우, 색상으로 구분된 발산 히트맵(빨간색 = 소스, 파란색 = 싱크)과 장의 거동을 보여주는 애니메이션 입자 흐름이 포함된 벡터장 화살표를 확인합니다.

풀이 예시

지점 $(1, 1)$에서 $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$의 발산을 구합니다.

단계 1: 성분 식별: $P = x$, $Q = y$.

단계 2: 편미분 계산: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

단계 3: 합산: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

해석: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$이므로 모든 지점은 소스입니다. 이 장은 균일하게 외부로 확장됩니다. 평면의 모든 곳에서 유체가 뿜어져 나오는 상황을 상상해 보십시오.

FAQ

벡터장의 발산이란 무엇입니까?

발산은 벡터장이 주어진 지점에서 확장되거나 수축되는 비율을 측정하는 스칼라 값 미분 연산자입니다. 3D 필드 F = (P, Q, R)의 경우 발산은 편미분의 합인 ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z입니다. 양의 발산은 소스(외부 흐름), 음의 발산은 싱크(내부 흐름), 0은 비압축성 흐름을 나타냅니다.

발산은 어떻게 계산합니까?

발산을 계산하려면 각 성분 함수를 해당 변수에 대해 편미분한 다음 모두 더합니다. 2D 필드 F = (P, Q)의 경우 ∂P/∂x + ∂Q/∂y를 계산합니다. 3D의 경우 ∂R/∂z를 추가합니다. 결과는 스칼라 함수(벡터가 아님)이며, 각 지점에서 장이 얼마나 팽창하거나 압축되는지를 알려줍니다.

발산이 0이라는 것은 무엇을 의미합니까?

발산이 모든 곳에서 0일 때, 그 벡터장은 솔레노이드(solenoidal) 또는 발산이 없다고 합니다. 유체 역학에서 이는 유체가 비압축성임을 의미하며, 어느 지점에서도 순 확장이나 수축이 없음을 뜻합니다. 자기장은 항상 발산이 0이며(자기학의 가우스 법칙: ∇·B = 0), 모든 벡터장의 회전(curl) 결과에 대한 발산은 항상 0입니다(∇·(∇×F) = 0).

발산의 물리적 의미는 무엇입니까?

물리적으로 발산은 한 지점에서 단위 부피당 순 외부 유속을 측정합니다. 유체 내의 아주 작은 상자를 상상해 보세요. 상자로 들어오는 유체보다 나가는 유체가 많으면 발산은 양수(소스)입니다. 들어오는 양이 더 많으면 음수(싱크)입니다. 이 개념은 물리학의 보존 법칙에서 중심적이며 연속 방정식, 맥스웰 방정식, 열 방정식 등에 등장합니다.

발산과 회전(curl)의 차이점은 무엇입니까?

발산과 회전은 모두 벡터장에 대한 미분 연산자이지만 서로 다른 것을 측정합니다. 발산(∇·F)은 확장 또는 수축을 측정하고 스칼라를 생성합니다. 회전(∇×F)은 회전 또는 순환을 측정하고 벡터를 생성합니다. 어떤 장은 발산은 0이 아니지만 회전은 0일 수 있고(예: F = (x, y)), 발산은 0이지만 회전은 0이 아닐 수도 있으며(예: F = (−y, x)), 둘 다일 수도 있고 둘 다 아닐 수도 있습니다.

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MiniWebtool 팀 제작. 업데이트: 2026-04-08

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좌표계별 발산 공식

발산과 관련된 주요 항등식

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발산 계산기 사용 방법

풀이 예시

FAQ

미적분학:

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좌표계	발산 공식
데카르트 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
데카르트 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
원통 좌표계	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
구면 좌표계	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

항등식	공식
선형성	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
곱의 미분 (스칼라 × 벡터)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
회전의 발산	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (항상)
라플라시안	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (구배의 발산 = 라플라시안)
발산 정리	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

분야	응용	발산이 나타내는 것
전자기학	가우스 법칙	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — 전하 밀도가 전기장 발산을 생성함
전자기학	자기장	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — 자기 홀극은 존재하지 않음
유체 역학	연속 방정식	비압축성 흐름의 경우 \(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\)
열전달	열 방정식	열유속의 발산은 온도 변화와 관련됨
일반 상대성 이론	아인슈타인 중력장 방정식	응력-에너지 텐서의 발산 제로 조건