Kalkulator cURL

Hitung curl ∇×F dari medan vektor 2D atau 3D apa pun dengan ekspansi determinan perkalian silang langkah demi langkah. Masukkan fungsi komponen P, Q (dan R untuk 3D), dapatkan curl simbolik, evaluasi pada sebuah titik, identifikasi medan irrotasional, dan lihat visualisasi medan vektor interaktif dengan overlay vortisitas.

Kalkulator cURL

Embed Kalkulator cURL Widget

Tentang Kalkulator cURL

Kalkulator cURL menghitung curl ∇×F dari medan vektor 2D atau 3D mana pun dengan ekspansi determinan perkalian silang langkah demi langkah secara lengkap. Masukkan komponen medan vektor Anda P, Q (dan R untuk 3D), evaluasi secara opsional pada titik tertentu, dan dapatkan curl simbolis, klasifikasi rotasi, dan untuk medan 2D, visualisasi interaktif dengan peta panas vortisitas dan aliran partikel animasi yang menunjukkan perilaku rotasi medan tersebut.

Apa Itu Curl?

Curl dari sebuah medan vektor $\mathbf{F}$ mengukur rotasi infinitesimal dari medan tersebut pada setiap titik. Untuk medan 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$, curl dihitung sebagai perkalian silang:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

Menguraikan determinan tersebut menghasilkan vektor curl:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

Untuk medan 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, curl direduksi menjadi skalar $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$, yang mewakili rotasi pada bidang xy.

Makna Fisik dari Curl

↺

Rotasi CCW (curl > 0)

Roda kayuh kecil yang diletakkan di sini akan berputar berlawanan arah jarum jam. Medan bersirkulasi ke arah positif.

↻

Rotasi CW (curl < 0)

Roda kayuh kecil yang diletakkan di sini akan berputar searah jarum jam. Medan bersirkulasi ke arah negatif.

⊘

Irrotational (curl = 0)

Tidak ada rotasi neto — medannya bersifat konservatif. Ada fungsi potensial φ dengan F = ∇φ.

♻

Teorema Stokes

Integral permukaan dari curl sama dengan integral garis di sekitar batasnya: sirkulasi = total rotasi.

Rumus Curl dalam Sistem Koordinat yang Berbeda

Sistem Koordinat	Rumus Curl
Kartesius 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (skalar)
Kartesius 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
Silinder	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
Bola	Lihat ekspansi lengkap menggunakan faktor skala $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

Identitas Penting yang Melibatkan Curl

Identitas	Rumus
Curl dari gradien	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (selalu nol — gradien bersifat irrotational)
Divergensi dari curl	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (selalu nol — curl bersifat solenoidal)
Linearitas	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
Aturan perkalian	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Teorema Stokes	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Aplikasi Curl

Bidang	Aplikasi	Apa yang Diwakili Curl
Elektromagnetisme	Hukum Faraday	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — perubahan medan magnet menciptakan medan listrik yang bersirkulasi
Elektromagnetisme	Hukum Ampere	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — arus listrik menciptakan medan magnet yang bersirkulasi
Dinamika Fluida	Vortisitas	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — mengukur bagaimana fluida berputar secara lokal
Mekanika	Kecepatan sudut	Untuk rotasi benda tegar $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, curl menghasilkan $2\boldsymbol{\omega}$
Medan konservatif	Independensi jalur	Jika $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, integral garis tidak bergantung pada jalur dan ada sebuah potensial

Cara Menggunakan Kalkulator cURL

Pilih dimensi: Pilih 2D untuk medan F = ⟨P, Q⟩ (curl skalar) atau 3D untuk F = ⟨P, Q, R⟩ (curl vektor) menggunakan tombol sakelar.
Masukkan fungsi komponen: Ketik setiap fungsi komponen (P, Q, dan secara opsional R) menggunakan notasi standar. Gunakan ^ untuk eksponen, * untuk perkalian, dan fungsi seperti sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Perkalian implisit didukung (misal, 2x = 2*x).
Masukkan titik evaluasi (opsional): Masukkan koordinat yang dipisahkan koma untuk mengevaluasi curl secara numerik dan mengklasifikasikan arah rotasi.
Klik Hitung Curl: Lihat curl simbolis, ekspansi determinan perkalian silang langkah demi langkah, evaluasi numerik, dan klasifikasi rotasi.
Jelajahi visualisasi: Untuk medan 2D, lihat panah medan vektor dengan peta panas vortisitas (oranye = berlawanan arah jarum jam, ungu = searah jarum jam) dan aliran partikel animasi.

Contoh Pengerjaan

Tentukan curl dari $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ pada titik $(1, 2, 3)$:

Langkah 1: Tulis determinannya: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

Langkah 2: Uraikan: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

Langkah 3: Curl-nya identik dengan nol — medan ini bersifat irrotational (konservatif). Faktanya, $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$, yang menegaskan adanya fungsi potensial.

Curl vs. Divergensi

Properti	Curl (∇×F)	Divergensi (∇·F)
Jenis operator	Perkalian silang dengan ∇	Perkalian titik dengan ∇
Output	Vektor (3D) / Skalar (2D)	Skalar
Mengukur	Rotasi / sirkulasi	Ekspansi / kontraksi
Nol berarti	Irrotational / konservatif	Solenoidal / tak termampatkan
Teorema	Teorema Stokes	Teorema Divergensi (Gauss)

FAQ

Apa itu curl dari medan vektor?

Curl dari medan vektor mengukur kecenderungan rotasi atau sirkulasi pada setiap titik. Untuk medan 3D F = (P, Q, R), curl adalah vektor yang dihitung melalui perkalian silang operator nabla dengan F: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). Curl positif menunjukkan rotasi berlawanan arah jarum jam, negatif menunjukkan rotasi searah jarum jam.

Bagaimana cara menghitung curl?

Untuk menghitung curl dari medan vektor 3D, siapkan determinan 3×3 dengan vektor satuan i, j, k di baris pertama, operator turunan parsial ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z di baris kedua, dan komponen medan P, Q, R di baris ketiga. Uraikan determinan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama untuk mendapatkan setiap komponen vektor curl.

Apa artinya jika curl bernilai nol?

Ketika curl bernilai nol di mana-mana, medan vektor disebut irrotational atau konservatif. Ini berarti fungsi potensial skalar φ ada sedemikian hingga F = ∇φ, dan integral garis dari F di sekitar loop tertutup mana pun adalah nol. Medan gravitasi dan medan elektrostatik adalah contoh medan irrotational.

Apa perbedaan antara curl dan divergensi?

Curl mengukur rotasi dan menghasilkan vektor (dalam 3D), sedangkan divergensi mengukur ekspansi atau kontraksi dan menghasilkan skalar. Curl menggunakan perkalian silang nabla dengan F (∇×F), sedangkan divergensi menggunakan perkalian titik (∇·F). Sebuah medan dapat memiliki curl tidak nol tetapi divergensi nol (seperti F = (−y, x, 0)), atau curl nol tetapi divergensi tidak nol (seperti F = (x, y, z)).

Apa makna fisik dari curl?

Secara fisik, curl mengukur kecenderungan medan vektor untuk bersirkulasi atau berputar di sekitar suatu titik. Bayangkan menempatkan roda kayuh kecil dalam aliran fluida — curl memberi tahu Anda seberapa cepat dan ke arah mana roda kayuh tersebut akan berputar. Dalam elektromagnetisme, curl muncul dalam hukum Faraday (perubahan medan magnet menciptakan medan listrik yang bersirkulasi) dan hukum Ampere (arus menciptakan medan magnet yang bersirkulasi). Dalam dinamika fluida, curl dari kecepatan disebut vortisitas.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator cURL" di https://MiniWebtool.com/id// dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 2026-04-08

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Sistem Koordinat	Rumus Curl
Kartesius 2D	\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (skalar)
Kartesius 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
Silinder	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
Bola	Lihat ekspansi lengkap menggunakan faktor skala \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

Identitas	Rumus
Curl dari gradien	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (selalu nol — gradien bersifat irrotational)
Divergensi dari curl	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (selalu nol — curl bersifat solenoidal)
Linearitas	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
Aturan perkalian	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
Teorema Stokes	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

Bidang	Aplikasi	Apa yang Diwakili Curl
Elektromagnetisme	Hukum Faraday	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — perubahan medan magnet menciptakan medan listrik yang bersirkulasi
Elektromagnetisme	Hukum Ampere	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — arus listrik menciptakan medan magnet yang bersirkulasi
Dinamika Fluida	Vortisitas	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — mengukur bagaimana fluida berputar secara lokal
Mekanika	Kecepatan sudut	Untuk rotasi benda tegar \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\), curl menghasilkan \(2\boldsymbol{\omega}\)
Medan konservatif	Independensi jalur	Jika \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), integral garis tidak bergantung pada jalur dan ada sebuah potensial

Kalkulator cURL

Tentang Kalkulator cURL

Apa Itu Curl?

Makna Fisik dari Curl

Rumus Curl dalam Sistem Koordinat yang Berbeda

Identitas Penting yang Melibatkan Curl

Aplikasi Curl

Cara Menggunakan Kalkulator cURL

Contoh Pengerjaan

Curl vs. Divergensi

FAQ

Alat unggulan: