Máy tính Hệ số Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier là gì?

Một chuỗi Fourier phân tích bất kỳ hàm tuần hoàn nào thành tổng của các hàm sin và cosin (hòa âm). Cho một hàm \( f(x) \) có chu kỳ \( T \), biểu diễn chuỗi Fourier của nó là:

Phép phân tích mạnh mẽ này là nền tảng trong xử lý tín hiệu, vật lý, kỹ thuật và toán học. Nó tiết lộ nội dung tần số ẩn bên trong bất kỳ tín hiệu tuần hoàn nào.

Các hệ số được tính như thế nào?

Các hệ số Fourier được xác định bằng cách tích phân tích của \( f(x) \) với mỗi hàm cơ sở trong một chu kỳ hoàn chỉnh:

Hệ số \( a_0/2 \) đại diện cho giá trị trung bình của hàm số trong một chu kỳ. Mỗi \( a_n \) đo lường mức độ tương quan của hàm số với sóng cosin có tần số \( n \), trong khi \( b_n \) đo lường mức độ tương quan với sóng sin có tần số \( n \).

Tính đối xứng của hàm chẵn và hàm lẻ

Tính đối xứng của hàm số có thể đơn giản hóa việc tính toán Fourier một cách đáng kể:

• Hàm chẵn (\( f(-x) = f(x) \)): Tất cả \( b_n = 0 \). Chuỗi Fourier chỉ chứa các số hạng cosin. Ví dụ: \( x^2 \), \( |x| \), \( \cos(x) \).
• Hàm lẻ (\( f(-x) = -f(x) \)): Tất cả \( a_n = 0 \) (bao gồm cả \( a_0 \ \)). Chuỗi chỉ chứa các số hạng sin. Ví dụ: \( x \), \( x^3 \), \( \sin(x) \).
• Không chẵn cũng không lẻ: Cần cả hai số hạng cosin và sin. Ví dụ: \( e^x \).

Hiện tượng Gibbs

Tại các điểm gián đoạn, tổng riêng Fourier thể hiện các dao động vọt lố hội tụ về xấp xỉ 9% chiều cao bước nhảy, bất kể bao nhiêu số hạng được sử dụng. Điều này được gọi là hiện tượng Gibbs. Các vết vọt lố trở nên hẹp hơn khi có thêm nhiều số hạng, nhưng đỉnh vọt lố không giảm đi. Điều này có thể thấy rõ trên đồ thị khi xấp xỉ các hàm như sóng vuông hoặc sóng răng cưa.

Ứng dụng của chuỗi Fourier

• Xử lý tín hiệu: Phân tích âm thanh, vô tuyến và tín hiệu điện thành các thành phần tần số để lọc và phân tích.
• Dẫn nhiệt: Giải phương trình nhiệt bằng phương pháp tách biến, trong đó chuỗi Fourier biểu thị sự phân bố nhiệt độ.
• Phân tích rung động: Phân tích các dao động cơ học và cộng hưởng trong các cấu trúc và vật liệu.
• Nén hình ảnh: Định dạng JPEG và các định dạng khác sử dụng Biến đổi Cosin Rời rạc (DCT) có liên quan chặt chẽ.
• Cơ học lượng tử: Các hàm sóng được khai triển trong các cơ sở trực giao (chuỗi Fourier tổng quát).
• Kỹ thuật điện: Phân tích mạch xoay chiều và hệ thống điện với các dạng sóng tuần hoàn.

Sự hội tụ của chuỗi Fourier

Các tính chất hội tụ của chuỗi Fourier được điều chỉnh bởi một số định lý quan trọng:

• Điều kiện Dirichlet: Nếu \( f(x) \) liên tục từng khúc, bị chặn và có một số hữu hạn các điểm cực trị và gián đoạn trong mỗi chu kỳ, thì chuỗi Fourier hội tụ về \( f(x) \) tại các điểm liên tục và về \( \frac{1}{2}[f(x^+) + f(x^-)] \) tại các điểm gián đoạn.
• Định lý Parseval: Tổng năng lượng của tín hiệu được bảo toàn: \( \frac{1}{T}\int_0^T |f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2 + b_n^2) \).
• Bất đẳng thức Bessel: Tổng bình phương các hệ số bị chặn bởi năng lượng của hàm số, đảm bảo tính hội tụ.

Cách sử dụng máy tính này

1. Nhập f(x): Nhập hàm số của bạn bằng ký hiệu toán học tiêu chuẩn. Sử dung ^ cho lũy thừa, * cho phép nhân và các hàm tích hợp như sin, cos, exp, abs, ln.
2. Thiết lập chu kỳ: Nhập điểm bắt đầu và kết thúc của một chu kỳ hoàn chỉnh. Đối với các hàm tuần hoàn \( 2\pi \) tiêu chuẩn, hãy sử dụng -pi đến pi.
3. Chọn N: Chọn số lượng số hạng Fourier cần tính (1–20). Càng nhiều số hạng sẽ cho độ xấp xỉ tốt hơn.
4. Phân tích kết quả: Xem lại bảng hệ số, tích phân từng bước, công thức tổng riêng, đồ thị so sánh và phổ biên độ.