Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Trang chủ > Toán học > Giải tích > Máy tính đạo hàm theo hướng
 

Máy tính đạo hàm theo hướng

Tính đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến với lời giải từng bước, tính toán gradient, chuẩn hóa vectơ đơn vị và minh họa bề mặt 3D tương tác.

Máy tính đạo hàm theo hướng

Thử các hàm ví dụ:

Paraboloid Sóng Sine Hàm mũ Logarit Đa thức Khoảng cách
Sử dụng ** cho số mũ, e cho số Euler, ln cho logarit tự nhiên
Hai biến cách nhau bởi dấu phẩy
Tọa độ cách nhau bởi dấu phẩy
Sẽ được chuẩn hóa thành vectơ đơn vị

Embed Máy tính đạo hàm theo hướng Widget

Giới thiệu về Máy tính đạo hàm theo hướng

Chào mừng bạn đến với Máy tính đạo hàm theo hướng, một công cụ giải tích nhiều biến mạnh mẽ giúp tính toán tốc độ thay đổi của hàm số theo bất kỳ hướng nào đã chỉ định. Máy tính này cung cấp lời giải chi tiết từng bước, tính toán vectơ gradient, chuẩn hóa vectơ đơn vị và trực quan hóa 3D tương tác để giúp bạn nắm vững đạo hàm theo hướng cho việc học tập, nghiên cứu hoặc ứng dụng chuyên môn.

Đạo hàm theo hướng là gì?

Một đạo hàm theo hướng đo lường tốc độ thay đổi của một hàm nhiều biến tại một điểm cụ thể khi bạn di chuyển theo một hướng nhất định. Không giống như đạo hàm riêng (chỉ đo sự thay đổi dọc theo các trục tọa độ), đạo hàm theo hướng cho phép bạn phân tích hành vi của hàm theo bất kỳ hướng nào bạn chọn.

∇ Vectơ Gradient

Gradient $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ chỉ theo hướng tăng nhanh nhất. Độ lớn của nó bằng tốc độ thay đổi cực đại.

→ Vectơ hướng đơn vị

Một vectơ đơn vị $\mathbf{u}$ có độ lớn bằng 1. Chúng ta chuẩn hóa các vectơ hướng để tiêu chuẩn hóa phép đo tốc độ thay đổi trên mỗi đơn vị khoảng cách.

• Tích vô hướng

Đạo hàm theo hướng bằng tích vô hướng của gradient và vectơ đơn vị: $D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$. Phép tính này chiếu gradient lên hướng đang xét.

Công thức đạo hàm theo hướng

Đạo hàm theo hướng
$$D_{\mathbf{u}}f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{u} = \frac{\partial f}{\partial x}\, u_1 + \frac{\partial f}{\partial y}\, u_2$$

Trong đó:

Cách sử dụng máy tính này

  1. Nhập hàm số của bạn: Nhập hàm $f(x, y)$ bằng ký hiệu toán học tiêu chuẩn. Sử dụng ** cho số mũ (ví dụ: x**2 cho $x^2$).
  2. Xác định các biến: Nhập tên các biến cách nhau bằng dấu phẩy (mặc định: x, y).
  3. Nhập điểm: Cung cấp tọa độ $(x_0, y_0)$ nơi bạn muốn tính đạo hàm, cách nhau bằng dấu phẩy.
  4. Nhập vectơ hướng: Nhập các thành phần của vectơ hướng $(a, b)$. Máy tính sẽ tự động chuẩn hóa nó thành vectơ đơn vị.
  5. Tính toán: Nhấp vào nút để xem đạo hàm theo hướng với lời giải chi tiết từng bước và hình ảnh trực quan 3D.

Cú pháp nhập hàm

Phép toánCú phápVí dụ
Số mũ**x**2 cho $x^2$
Phép nhân* hoặc ẩn2*x hoặc 2x
Lượng giácsin, cos, tansin(x*y)
Hàm mũe** hoặc exp()e**(x*y)
Logarit tự nhiênln() hoặc log()ln(x + y)
Căn bậc haisqrt()sqrt(x**2 + y**2)

Hiểu về đạo hàm theo hướng

Giải thích hình học

Hãy tưởng tượng bạn đang đứng trên một bề mặt được xác định bởi $z = f(x, y)$. Đạo hàm theo hướng cho bạn biết độ dốc của bề mặt tăng hay giảm bao nhiêu khi bạn đi theo một hướng cụ thể. Vectơ gradient chỉ về hướng leo dốc nhất (giống như đi ngược lại dòng nước chảy trên một sườn núi).

Các tính chất chính

Chuẩn hóa vectơ đơn vị

Cho một vectơ hướng $\mathbf{v} = (a, b)$, vectơ đơn vị tương ứng là:

Công thức vectơ đơn vị
$$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \frac{(a, b)}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)$$

Ứng dụng của đạo hàm theo hướng

Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm theo hướng là gì?

Đạo hàm theo hướng đo tốc độ thay đổi của một hàm nhiều biến theo một hướng cụ thể. Đối với hàm $f(x,y)$ tại điểm $(x_0,y_0)$, đạo hàm theo hướng theo hướng của vectơ đơn vị $\mathbf{u}$ bằng tích vô hướng của gradient và vectơ đơn vị: $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$. Nó cho biết hàm số tăng hoặc giảm nhanh như thế nào khi bạn di chuyển từ điểm đó theo hướng xác định.

Làm thế nào để tính đạo hàm theo hướng?

Để tính đạo hàm theo hướng: (1) Tính gradient $\nabla f$ bằng cách tìm các đạo hàm riêng theo từng biến, (2) Tính giá trị gradient tại điểm đã cho, (3) Chuẩn hóa vectơ hướng để có vectơ đơn vị $\mathbf{u}$, (4) Thực hiện tích vô hướng của gradient và vectơ đơn vị. Công thức là $D_{\mathbf{u}} f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u}$.

Gradient của một hàm số là gì?

Gradient của một hàm vô hướng $f(x,y)$ là một vectơ chứa tất cả các đạo hàm riêng: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$. Nó chỉ theo hướng có tốc độ tăng tối đa của hàm số và độ lớn của nó bằng đạo hàm theo hướng cực đại tại điểm đó.

Tại sao chúng ta cần vectơ đơn vị cho đạo hàm theo hướng?

Chúng ta sử dụng vectơ đơn vị (độ lớn = 1) để tiêu chuẩn hóa phép đo tốc độ thay đổi. Nếu không chuẩn hóa, đạo hàm theo hướng sẽ phụ thuộc vào độ dài của vectơ chứ không chỉ là hướng của nó. Vectơ đơn vị đảm bảo chúng ta đo tốc độ thay đổi trên mỗi đơn vị khoảng cách di chuyển theo hướng đó.

Đạo hàm theo hướng dương hoặc âm có ý nghĩa gì?

Đạo hàm theo hướng dương có nghĩa là hàm số tăng khi bạn di chuyển theo hướng đó từ điểm đang xét. Giá trị âm có nghĩa là hàm số giảm. Đạo hàm theo hướng bằng không cho biết hàm số không tăng cũng không giảm theo hướng đó (hướng tiếp tuyến với đường mức).

Đạo hàm theo hướng đạt giá trị cực đại theo hướng nào?

Đạo hàm theo hướng đạt cực đại theo hướng của vectơ gradient $\nabla f$. Giá trị cực đại bằng độ lớn của gradient $\|\nabla f\|$. Ngược lại, đạo hàm theo hướng cực tiểu xảy ra theo hướng ngược lại $(-\nabla f)$ với giá trị $-\|\nabla f\|$.

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính đạo hàm theo hướng" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-đạo-hàm-theo-hướng/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 27 tháng 1, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Các công cụ liên quan khác:

Máy tính Đạo hàm
Máy tính đạo hàm ẩn
Máy tính đạo hàm riêng
Máy tính phân tích phân số từng phần

Giải tích:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoCông cụ đổi Pound sang KilogramCông cụ chuyển đổi kg sang lbsĐổ xúc xắcCông cụ Mã hóa CaesarTrình Tạo Mã MorseTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênMáy tính giảm giá phần trămTra cứu ID người dùng InstagramBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânĐảo ngược văn bảnTrình tạo thời gian ngẫu nhiênMáy tính thời gian⏱️ Máy Tính GiờTrình nhân hóa văn bản AICông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânCông cụ chuyển đổi chữ số La MãMáy tính thương và số dư🖱️ Bộ Đếm ClickTrình tạo bài tây ngẫu nhiênCông cụ đếm hàngMáy tính nhị phânBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânChọn tên ngẫu nhiênMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữMáy tính HEXCông cụ chuyển đổi kPa sang psiMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămTrình chuyển đổi SRT sang TXTTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênMáy tính thập phân sang phân sốMáy tính phân số tối giảnCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchMáy tính Cạnh huyềnTra cứu ID người dùng FacebookBộ chuyển đổi Nhị phân sang Hexmáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoSắp xếp sốBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmBộ chuyển đổi FPSMáy Tính Chu Vi Hình ElipCông cụ chia ảnhBộ chuyển đổi hex sang thập phânThống kê Kênh YouTubeBộ lặp MP3Máy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiBộ chuyển đổi HEXCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhMáy tính căn bậc hai📅 Máy tính ngàySo sánh hai chuỗiTrình trích xuất âm thanhTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnMáy tính giai thừaCông cụ chuyển đổi centimet sang inchMáy tính bột pizzaMáy tính bước chân sang khoảng cáchSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiXóa dấu cáchMáy tính ModuloTrình tạo mê cungMáy Giải Phương Trình Bậc BaMáy tính Kiểm tra Chia hếtMáy tính tương hợp tình yêuTrình tạo số xổ sốGhép VideoTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi psi sang kPaCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnCông cụ tính điểm trung bình GPABộ Chuyển Đổi Nhị PhânCông cụ chuyển đổi gam sang poundtra-cứu-địa-chỉ-MACMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Trình tạo tên ngẫu nhiênMáy tính tỷ lệ phần trămCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânCông cụ xáo trộn chữ cáiLịch trăng non và trăng trònTrình nén VideoTung đồng xuCon số may mắn của tôi là gì?Trình tạo Ma phươngTrình tạo oẳn tù tì⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênTrình tạo số thập phân ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMCông cụ chuyển đổi từ Feet sang MétTrình tạo IMEI Ngẫu nhiênMáy tính nhiều phân sốTạo Trò Chơi Tìm TừBộ Chia Âm Thanh💧 Máy Tính Điểm SươngMáy tính So sánh Phân sốXoay VideoĐiều chỉnh tốc độ videoCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng AnhDanh sách Dãy số FibonacciMáy tính WHtR🔍 Kiểm tra Đạo vănTrình phát hiện nội dung AITạo Ô ChữMáy tính trung bình mẫuMáy tính trung bìnhCông cụ chuyển đổi DMS sang độ thập phânCông cụ chuyển đổi hỗn số thành phân sốMáy tính BSAmáy-tính-hba1cn chữ số đầu tiên của piBộ chuyển đổi hệ cơ sốBộ chuyển đổi RGB sang HexMáy tính TổngChuyển đổi Kích thước Tập tinCông cụ chuyển đổi Radian sang ĐộMáy Tính Tuổi Theo Văn HóaMáy tính VectorCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânMáy tính thể tíchMáy tính định lý PythagoreMáy tính độ lệch chuẩn - Độ chính xác caoĐây có phải là Số Nguyên Tố?Máy Tính Hồi Quy Tuyến Tính🎮 Bộ Chuyển Đổi Độ Nhạy GameBộ giải mã Base64Công cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânCông cụ chuyển đổi inch sang centimet⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực TuyếnMáy tính diện tích hình elipMáy tính Hình trònMáy tính Độ dốc và Cấp⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianBộ Chuyển Đổi Thời Gian Sang Thập PhânLấy độ dài chuỗi📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnTrình Chuyển Đổi Phát Âm IPACông cụ Giải Bản đồ Karnaugh (K-Map)Công cụ Giải Quy hoạch Tuyến tínhCông cụ chuyển đổi Độ sang RadianMáy Tính Chia Đa ThứcMáy tính Ước số chung lớn nhấtTạo và giải SudokuAI Trình thêm dấu câuCông cụ Chuyển đổi Mét sang FeetCông cụ chuyển đổi thời gian phân sốMáy tính số phứcMáy tính Tích phânMáy tính BitwiseMáy tính xác suất xúc xắcTrình tạo ngày ngẫu nhiênChuyển đổi Thời gian SRTCông cụ ước tính thu nhập YouTubeMáy tính biến đổi Laplace ngượcMáy tính Phân phối PoissonXóa công cụ trùng lặp danh sáchMáy Tính Run Rate CricketMáy tính xG (Bàn thắng kỳ vọng) Bóng đáTrình Theo Dõi Điểm TennisMáy Tính Điểm Wells (DVT/PE)Máy tính Thang điểm Hôn mê GlasgowMáy Tính Chỉ Số APGARMáy Tính FFMIMáy tính Chạy 12 Phút CooperMáy tính Bài kiểm tra Đi bộ Một dặm RockportMáy Tính Khối Lượng Nạc Sang Sức MạnhMáy tính Tỷ lệ Carb-InsulinMáy Tính Hệ Số Nhạy Cảm InsulinCông cụ Chuyển đổi Lịch Do TháiCông cụ Chuyển đổi Lịch HijriBộ Chuyển Đổi Lịch ÂmMáy Tính Bao Lâu TrướcMáy Tính Còn Bao Lâu NữaTrình Tạo Mẫu NgàyMáy Tính Ngày GiữaCộng Ngày Làm Việc Vào NgàyMáy Tính Ngày Làm ViệcBộ Phân Tích Tần Suất TừTrình phân tích phương sai độ dài câuTrình Chỉnh Sửa Khả Năng Đọc Kiểu HemingwayCông cụ Mã hóa VigenèreCông cụ Mã hóa AtbashBộ Mã Hóa và Giải Mã ROT13Trình Xem và Xóa Dữ Liệu EXIFTrình Dịch Pig LatinTrình tạo BackronymTrình Tạo Từ Viết TắtKiểm tra PangramTrình kiểm tra LipogramTrình truy vết ảnh sang SVGTrình chuyển đổi hình ảnh sang nghệ thuật ASCIITrình tạo Lược đồ JSONSân chơi TypeScriptTrình Biên Dịch Less Sang CSSTrình Biên Dịch SCSS Sang CSSBộ chuyển đổi SVG sang React/JSXTrình tạo Chuỗi Truy vấnTrình Phân Tích URLTrình xác thực và Giải mã UUIDTham Khảo Mã Trạng Thái HTTPTrình tạo lệnh cURLTrình tạo tam giác SierpinskiTrình vẽ bề mặt 3DTrình vẽ phương trình cựcTrình tạo Tập hợp JuliaTrình Khám Phá Tập Hợp MandelbrotTrình tạo Fractal L-SystemTrình tạo phân chia tam giác DelaunayTrình tạo Sơ đồ VoronoiTrình tạo SpirographTrình Tạo Lát Hoa TiếtMáy Tính Năng Lực Quá Trình Six SigmaTrình tạo Biểu đồ ParetoMáy tính NPS (Net Promoter Score)Máy tính tỷ lệ giữ chân khách hàng theo nhómMáy Tính Tỷ Lệ Rời Bỏ Khách HàngMáy Tính Chi Phí Thu Hút Khách Hàng CACMáy Tính Giá Trị Vòng Đời Khách Hàng (CLV)Máy tính Tỷ lệ Chuyển đổiMáy tính Kích thước Mẫu Kiểm định A/BMáy Tính Ý Nghĩa Kiểm Định A/BMáy tính Phương trình Thấu kínhMáy tính Từ trường của Dây dẫnMáy Tính Điện TrườngMáy Tính Định Luật CoulombMáy tính Định luật SnellMáy Tính Mô-men Quán TínhMáy tính Vận tốc GócMáy Tính Lực Hướng TâmMáy Tính Chu Kỳ Con LắcMáy tính Hằng số Lò xoMáy Tính Hiệu Ứng DopplerMáy tính Tỷ lệ SortinoMáy tính Tỷ lệ TreynorMáy Tính Hệ Số Beta Cổ PhiếuMáy tính Trái phiếu Kho bạc được Bảo vệ khỏi Lạm phát (TIPS)Máy Tính Tái Tính Lãi Thế ChấpMáy tính Lãi suất Kỳ hạnMáy tính Duration Trái phiếu (Macaulay và Modified)Máy tính Độ lồi Trái phiếuMáy Tính Niên Kim Liên Kết Chỉ Số Cố ĐịnhMáy tính Niên kim Biến đổiMáy Tính Thế Chấp Đảo NgượcMáy Tính Chi Trả Niên KimTrình Mô Phỏng Bàn Tính Soroban NhậtPhép nhân Nông dân NgaMáy Tính Thuật Toán VedaMáy Tính Phép Nhân Ai Cập CổMáy Tính Toán Học Số La MãTrình Luyện Toán NhẩmĐố Vui Bảng Cửu ChươngCông cụ Trực quan hóa Nhớ và MượnTrình Tạo Liên Kết SốTrình Giải Bài Toán Đồng XuMáy tính Tam giác Quãng đường - Vận tốc - Thời gianTrình Giải Bài Toán Năng Suất Làm ViệcTrình giải Bài toán Hỗn hợpTrình Giải Bài Toán TuổiTrình Giải Bài Toán Tàu Gặp NhauMáy Tính Bù NướcMáy Tính Calo Theo Tốc ĐộMáy Tính Liều ThuốcMáy Tính Calo Rượu BiaMáy Tính Tái Tạo Cơ ThểTrình Tạo Chủ Đề Tranh Luận Ngẫu NhiênTrình Tạo Tên Mèo Chó Ngẫu NhiênTrình Tạo Câu Kinh Thánh Ngẫu NhiênTrình Tạo Bài Toán Ngẫu NhiênTrình Tạo Đoạn Văn Ngẫu NhiênTrình Tạo Câu Tiếng Anh Ngẫu NhiênMáy Tính Sỏi, Cát và Đất MặtMáy Tính Trọng Lượng ThépMáy Tính Mô-men Xoắn Bu-lôngMáy Tính Dòng Chảy Trong ỐngMáy Tính Tải Trọng DầmBộ Chuyển Đổi Đô La Sang VàngMáy Tính Xác Suất Quyền ChọnMáy Tính Chia Tách Cổ PhiếuMáy tính ESPPMáy Tính Phí Trễ Hạn Hóa ĐơnMáy Tính Mức Lương Theo Giờ FreelancerMáy Tính Thuê vs MuaCông Cụ Chia Tiền Tip Nâng CaoTrình Tạo Danh Sách Hành LýMáy Tính Jet LagMáy Tính Ngân Sách Du LịchMáy Tính Khoảng Cách Chuyến BayMáy Tính Thất Thoát NhiệtMáy Tính Chi Phí Phát ĐiệnMáy Tính Lượng Nước Sử DụngMáy Tính Chi Phí Điện Năng Thiết Bị Gia DụngMáy Tính Kiểm Toán Năng Lượng Gia ĐìnhMáy Tính ROI Điện Mặt TrờiMáy Tính Tấm Pin Mặt TrờiMáy Tính Phân Ủ Tỷ Lệ C:NMáy Tính Phân Bón Cho Bãi CỏMáy Tính Ngày Sương GiáMáy Tính Đất Cho Luống NângMáy Tính Phân Bón NPKMáy Tính Tỷ Lệ Nảy Mầm Của Hạt GiốngMáy Tính Bitrate VideoCông cụ Chuyển Tone NhạcĐo BPM Bằng Cách Gõ NhịpCông cụ Ước tính Kích thước Tệp ẢnhMáy Tính Megapixel Sang Kích Thước InMáy tính Hệ số CropMáy tính Tam giác Phơi sángMáy Tính Khả Năng Kéo Rơ Moóc Của XeMáy Tính Leasing Ô TôMáy Tính 0–60 và Một Phần Tư DặmMáy Tính Thời Gian Sạc Xe ĐiệnMáy Tính Quãng Đường Xe ĐiệnMáy Tính Khoảng Cách 3DMáy Tính Hình XuyếnMáy Tính Hình Nón CụtMáy Tính Diện Tích Đa Giác Bất Quy TắcMáy Tính Đa Giác ĐềuCông cụ Nhận dạng Thiết diện ConicMáy Tính HyperbolMáy Tính Chia DàiĐếm Ký Tự Twitter/XBộ chọn bình luận YouTubeTrích xuất thẻ YouTubeTrình tải hình thu nhỏ YouTubeTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên