Kalkulator Divergensi

Hitung divergensi ∇·F dari medan vektor 2D atau 3D mana pun dengan komputasi turunan parsial langkah demi langkah. Masukkan fungsi komponen P, Q (dan R untuk 3D), dapatkan divergensi simbolik, evaluasi pada suatu titik, identifikasi sumber (source) dan sink (wastafel/titik serap), serta lihat visualisasi medan vektor interaktif dengan heatmap divergensi.

Embed Kalkulator Divergensi Widget

Tentang Kalkulator Divergensi

Kalkulator Divergensi menghitung divergensi ∇·F dari medan vektor 2D atau 3D apa pun dengan komputasi turunan parsial langkah demi langkah yang lengkap. Masukkan komponen medan vektor P, Q (dan R untuk 3D), pilih untuk mengevaluasi pada titik tertentu secara opsional, dan dapatkan divergensi simbolik, klasifikasi sumber/sink, dan untuk medan 2D, visualisasi interaktif dengan peta panas divergensi dan aliran partikel animasi.

Apa Itu Divergensi?

Divergensi dari sebuah medan vektor $\mathbf{F}$ adalah operator bernilai skalar yang mengukur laju di mana medan tersebut "menyebar" dari suatu titik. Untuk medan vektor 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Untuk medan 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, divergensinya adalah $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$. Divergensi adalah konsep fundamental dalam kalkulus vektor, dinamika fluida, elektromagnetisme, dan persamaan diferensial.

Makna Fisik Divergensi

🔴

Sumber (∇·F > 0)

Fluida mengalir keluar — lebih banyak yang keluar daripada yang masuk. Seperti air yang memancar dari air mancur.

🔵

Sink (∇·F < 0)

Fluida mengalir masuk — lebih banyak yang masuk daripada yang keluar. Seperti air yang mengalir ke dalam lubang pembuangan.

🟢

Nol (∇·F = 0)

Aliran tidak kompresibel — apa yang masuk sama dengan apa yang keluar. Medan tersebut bersifat solenoidal.

🔄

Teorema Divergensi

Total divergensi di dalam suatu volume sama dengan fluks bersih melalui permukaan batasnya.

Rumus Divergensi dan Sistem Koordinat

Sistem Koordinat	Rumus Divergensi
Kartesius 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Kartesius 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
Silinder	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
Bola	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

Identitas Penting Melibatkan Divergensi

Identitas	Rumus
Linearitas	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
Aturan Perkalian (skalar × vektor)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
Curl dari Gradien	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (selalu)
Laplacian	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (divergensi dari gradien = Laplacian)
Teorema Divergensi	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

Aplikasi Divergensi

Medan	Aplikasi	Apa yang Direpresentasikan Divergensi
Elektromagnetisme	Hukum Gauss	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — densitas muatan menciptakan divergensi medan listrik
Elektromagnetisme	Medan magnet	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — tidak ada monopole magnetik
Dinamika Fluida	Persamaan kontinuitas	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ untuk aliran tidak kompresibel
Perpindahan Panas	Persamaan panas	Divergensi fluks panas berhubungan dengan perubahan suhu
Relativitas Umum	Persamaan medan Einstein	Kondisi bebas divergensi pada tensor energi-stres

Cara Menggunakan Kalkulator Divergensi

Pilih dimensi: Pilih 2D untuk medan F = ⟨P, Q⟩ atau 3D untuk F = ⟨P, Q, R⟩ menggunakan tombol alih.
Masukkan fungsi komponen: Ketik setiap fungsi komponen (P, Q, dan secara opsional R) menggunakan notasi standar. Gunakan ^ untuk eksponen, * untuk perkalian, dan fungsi seperti sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Perkalian implisit didukung (misal, 2x = 2*x).
Masukkan titik evaluasi (opsional): Berikan koordinat yang dipisahkan koma untuk mengevaluasi divergensi secara numerik dan mengklasifikasikan titik tersebut sebagai sumber, sink, atau tidak kompresibel.
Klik Hitung Divergensi: Lihat rumus divergensi simbolik, komputasi turunan parsial langkah demi langkah, evaluasi numerik, dan klasifikasi sumber/sink.
Jelajahi visualisasi: Untuk medan 2D, lihat panah medan vektor dengan peta panas divergensi berkode warna (merah = sumber, biru = sink) dan aliran partikel animasi yang menunjukkan perilaku medan.

Contoh Pengerjaan

Tentukan divergensi dari $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ pada titik $(1, 1)$:

Langkah 1: Identifikasi komponen: $P = x$, $Q = y$.

Langkah 2: Hitung turunan parsial: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$.

Langkah 3: Jumlahkan: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$.

Interpretasi: Karena $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$, setiap titik adalah sumber. Medan tersebut mengembang keluar secara seragam — bayangkan fluida dipompa keluar di mana-mana di bidang tersebut.

Pertanyaan Umum (FAQ)

Apa itu divergensi medan vektor?

Divergensi adalah operator diferensial bernilai skalar yang mengukur laju di mana medan vektor mengembang atau menyusut pada titik tertentu. Untuk medan 3D F = (P, Q, R), divergensi adalah jumlah turunan parsial: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Divergensi positif menunjukkan sumber (aliran keluar), negatif menunjukkan sink (aliran masuk), dan nol berarti aliran tidak kompresibel.

Bagaimana cara menghitung divergensi?

Untuk menghitung divergensi, ambil turunan parsial dari setiap fungsi komponen terhadap variabel yang sesuai, lalu jumlahkan semuanya. Untuk medan 2D F = (P, Q), hitung ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Untuk 3D, tambahkan ∂R/∂z. Hasilnya adalah fungsi skalar (bukan vektor), yang memberi tahu Anda seberapa banyak medan tersebut mengembang atau memadat di setiap titik.

Apa artinya jika divergensi bernilai nol?

Ketika divergensi nol di mana-mana, medan vektor disebut solenoidal atau bebas divergensi. Dalam dinamika fluida, ini berarti fluida tidak dapat dimampatkan — tidak ada ekspansi atau kontraksi bersih pada titik mana pun. Medan magnet selalu memiliki divergensi nol (hukum Gauss untuk magnetisme: ∇·B = 0), dan curl dari medan vektor apa pun selalu bebas divergensi (∇·(∇×F) = 0).

Apa makna fisik dari divergensi?

Secara fisik, divergensi mengukur fluks keluar bersih per unit volume pada suatu titik. Bayangkan sebuah kotak kecil dalam fluida: jika lebih banyak fluida yang keluar dari kotak daripada yang masuk, divergensinya positif (sumber). Jika lebih banyak yang masuk daripada keluar, itu negatif (sink). Konsep ini sangat penting bagi hukum kekekalan dalam fisika, muncul dalam persamaan kontinuitas, persamaan Maxwell, dan persamaan panas.

Apa perbedaan antara divergensi dan curl?

Divergensi dan curl keduanya adalah operator diferensial pada medan vektor, tetapi mengukur hal yang berbeda. Divergensi (∇·F) mengukur ekspansi atau kontraksi dan menghasilkan skalar. Curl (∇×F) mengukur rotasi atau sirkulasi dan menghasilkan vektor. Sebuah medan bisa memiliki divergensi tidak nol tetapi curl nol (seperti F = (x, y)), atau divergensi nol tetapi curl tidak nol (seperti F = (−y, x)), atau keduanya, atau tidak keduanya.

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Divergensi" di https://MiniWebtool.com/id// dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim MiniWebtool. Diperbarui: 2026-04-08

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Sistem Koordinat	Rumus Divergensi
Kartesius 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Kartesius 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
Silinder	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
Bola	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

Identitas	Rumus
Linearitas	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
Aturan Perkalian (skalar × vektor)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
Curl dari Gradien	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (selalu)
Laplacian	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (divergensi dari gradien = Laplacian)
Teorema Divergensi	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

Medan	Aplikasi	Apa yang Direpresentasikan Divergensi
Elektromagnetisme	Hukum Gauss	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — densitas muatan menciptakan divergensi medan listrik
Elektromagnetisme	Medan magnet	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — tidak ada monopole magnetik
Dinamika Fluida	Persamaan kontinuitas	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) untuk aliran tidak kompresibel
Perpindahan Panas	Persamaan panas	Divergensi fluks panas berhubungan dengan perubahan suhu
Relativitas Umum	Persamaan medan Einstein	Kondisi bebas divergensi pada tensor energi-stres

Kalkulator Divergensi

Tentang Kalkulator Divergensi

Apa Itu Divergensi?

Makna Fisik Divergensi

Rumus Divergensi dan Sistem Koordinat

Identitas Penting Melibatkan Divergensi

Aplikasi Divergensi

Cara Menggunakan Kalkulator Divergensi

Contoh Pengerjaan

Pertanyaan Umum (FAQ)

Alat unggulan: