Calculadora de Espaço Nulo
A Calculadora de Espaço Nulo do MiniWebtool encontra uma base para todos os vetores que satisfazem Ax = 0. O escalonamento com frações exatas revela as variáveis livres, com a nulidade e uma verificação do teorema posto-nulidade relacionando o conjunto de soluções às dimensões da matriz.
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Digite uma matriz para obter uma base das soluções de Ax = 0, a nulidade, os passos da redução por linhas e uma verificação posto-nulidade em frações exatas.
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Calculadora de Espaço Nulo
A Calculadora de Espaço Nulo encontra o espaço nulo (núcleo) de qualquer matriz resolvendo o sistema homogêneo Ax = 0. Insira uma matriz de qualquer tamanho até 8×8 e obtenha a base completa do espaço nulo com aritmética fracionária exata, eliminação gaussiana passo a passo para RREF, classificação de colunas (pivô vs. livre) e verificação do teorema do posto-nulidade.
Resumo rápido
A Calculadora de Espaço Nulo encontra uma base para todos os vetores x que satisfazem Ax = 0 em uma matriz de até 8x8. Ela usa frações exatas e redução de linhas e informa a nulidade e uma verificação de posto-nulidade.
| Recurso | O que você obtém | Indicado para |
|---|---|---|
| Tamanho da matriz | Define linhas e colunas com controles de mais e menos, até 8x8. Aceita inteiros, decimais ou frações como 1/3 ou -5/2. | Matrizes de tarefas escolares em formatos comuns |
| Frações exatas | A redução por linhas para RREF usa aritmética exata com frações, então os vetores da base aparecem como frações. | Respostas para comparar com uma solução manual |
| Colunas pivô e livres | Cada coluna é classificada como pivô ou livre. Definir cada variável livre como 1, uma de cada vez, produz um vetor da base. | Entender de onde vem cada vetor da base |
| Nulidade e posto | Informa a nulidade e verifica rank(A) + nullity(A) = n, o número de colunas. | Conferir um resultado pelo teorema do posto-nulidade |
| Visualizador de etapas | Permite reproduzir ou avançar e voltar pelas etapas da eliminação de Gauss. | Aprender a ordem da eliminação |
| Matrizes de exemplo | Predefinições incluem 3x4, 2x4, identidade 3x3 (espaço nulo trivial), 2x5 larga, 4x3 alta e um resultado fracionário. | Comparar espaços nulos triviais e não triviais |
O Que É o Espaço Nulo de uma Matriz?
O espaço nulo (também chamado de núcleo) de uma matriz \(m \times n\) \(A\) é o conjunto de todos os vetores \(\mathbf{x}\) em \(\mathbb{R}^n\) que satisfazem:
$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$
Escrito como um conjunto: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). O espaço nulo é sempre um subespaço de \(\mathbb{R}^n\), o que significa que ele contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Como Encontrar o Espaço Nulo
Passo 1. Defina o número de linhas (m) e colunas (n) para sua matriz usando os controles +/−, ou clique em um exemplo rápido para carregar uma matriz predefinida.
Passo 2. Insira os valores da sua matriz na grade. Você pode digitar inteiros, decimais ou frações como 1/3 ou -5/2. Use Tab, Enter ou as setas do teclado para navegar entre as células.
Passo 3. Clique em Encontrar Espaço Nulo. A calculadora realiza a eliminação gaussiana para converter sua matriz para a forma escalonada reduzida por linhas (RREF).
Passo 4. Identifique as colunas pivô e as colunas livres. Cada coluna livre corresponde a uma variável livre que pode assumir qualquer valor.
Passo 5. Para cada variável livre, defina-a como 1 e todas as outras variáveis livres como 0, então resolva para as variáveis pivô. Os vetores resultantes formam uma base para o espaço nulo.
Espaço Nulo vs. Espaço Coluna
| Propriedade | Espaço Nulo | Espaço Coluna |
|---|---|---|
| Definição | Todos os x tais que Ax = 0 | Todos os b tais que Ax = b tem solução |
| Pertence a | \(\mathbb{R}^n\) (domínio) | \(\mathbb{R}^m\) (contradomínio) |
| Dimensão | nulidade = n − posto | posto |
| Encontrado a partir de | Colunas livres da RREF | Colunas pivô de A |
O Teorema do Posto-Nulidade
Para qualquer matriz \(m \times n\) \(A\):
$$\text{posto}(A) + \text{nulidade}(A) = n$$
O posto é o número de colunas pivô na RREF, e a nulidade é o número de colunas livres. Juntos, eles representam cada coluna. Este teorema também é conhecido como o teorema da dimensão para transformações lineares.
Casos Especiais
| Cenário | Espaço Nulo | O Que Significa |
|---|---|---|
| Posto de coluna completo (posto = n) | Apenas {0} | Colunas são linearmente independentes; Ax = 0 tem apenas a solução trivial |
| Mais colunas do que linhas (n > m) | Sempre não trivial | Existem pelo menos n − m variáveis livres, portanto, existem infinitas soluções |
| Matriz quadrada singular | Não trivial | A matriz possui determinante zero e linhas/colunas dependentes |
| Matriz zero | Todo o \(\mathbb{R}^n\) | Cada vetor está no espaço nulo; a base é a base canônica |
Aplicações do Espaço Nulo
Perguntas Frequentes
O que é o espaço nulo de uma matriz?
O espaço nulo (ou núcleo) de uma matriz A é o conjunto de todos os vetores x tais que Ax = 0. É um subespaço de R^n, onde n é o número de colunas. O espaço nulo sempre contém o vetor zero e também pode conter infinitos vetores não nulos se a matriz possuir variáveis livres.
Como encontrar o espaço nulo?
Reduza a matriz A para a forma escalonada reduzida por linhas (RREF) usando eliminação gaussiana. Identifique as colunas pivô e as colunas livres. Para cada variável livre, defina-a como 1 e todas as outras variáveis livres como 0, então resolva para as variáveis pivô. Os vetores resultantes formam uma base para o espaço nulo.
O que é o teorema do posto-nulidade?
O teorema do posto-nulidade afirma que para uma matriz A de m por n, posto(A) + nulidade(A) = n, onde n é o número de colunas. O posto é o número de colunas pivô e a nulidade é a dimensão do espaço nulo (número de variáveis livres).
O que significa se o espaço nulo for trivial?
Um espaço nulo trivial significa que a única solução para Ax = 0 é o vetor zero x = 0. Isso acontece quando cada coluna é uma coluna pivô (posto de coluna total). Significa que as colunas de A são linearmente independentes.
Matrizes não quadradas podem ter um espaço nulo?
Sim. Qualquer matriz possui um espaço nulo. Para uma matriz m por n com m menor que n, o espaço nulo é garantidamente não trivial (dimensão pelo menos n - m) porque há mais incógnitas do que equações, então variáveis livres sempre existem.
Cite este conteúdo, página ou ferramenta como:
"Calculadora de Espaço Nulo" em https://MiniWebtool.com/br/calculadora-de-espaco-nulo/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
pela equipe miniwebtool. Atualizado: 2026-04-10
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