貝塔分布計算機

貝塔分布計算機

貝塔分布計算機可計算機率、視覺化機率密度函數 (PDF) 和累積分布函數 (CDF)，並顯示貝塔分布 \(X \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)\) 的分布特性。輸入形狀參數 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 以及值 \(x \in [0, 1]\) 即可獲得 \(P(X \leq x)\)、\(P(X \geq x)\) 或 \(P(a \leq X \leq b)\)，並附帶逐步解題過程、互動式圖表以及平均值、變異數、眾數和偏態等關鍵統計數據。

什麼是貝塔分布？

貝塔分布（Beta distribution）是在區間 \([0, 1]\) 上定義的連續機率分布，具有兩個正形狀參數 \(\alpha\) (alpha) 和 \(\beta\) (beta)。其機率密度函數 (PDF) 為：

$$f(x;\,\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \quad 0 \leq x \leq 1$$

其中 \(B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\) 是 貝塔函數。貝塔分布非常多樣化——通過改變 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，它可以模擬均勻、鐘形、U 形或 J 形分布，使其成為機率和統計學中最重要的分布之一。

關鍵特性

形狀展示 — α 和 β 如何影響分布

貝塔分布根據其參數會呈現出截然不同的形狀：

公式

貝氏詮釋

貝塔分布在 貝氏統計 中至關重要，因為它是白努利分布和二項分布的 共軛先驗分布。如果您對機率 \(p\) 的先驗信念表示為 \(\text{Beta}(\alpha, \beta)\)，並且在 \(n\) 次試驗中觀察到 \(s\) 次成功，那麼您更新後的（後驗）信念為：

$$p \mid \text{data} \sim \text{Beta}(\alpha + s, \; \beta + n - s)$$

這種優雅的更新規則使貝塔分布成為模擬機率、轉化率、比例及類似 0 到 1 之間數值不確定性的預設選擇。常見的先驗選擇包括：

現實世界應用

貝塔分布 vs. 其他分布

如何使用貝塔分布計算機

1. 輸入形狀參數 α 和 β： 兩者都必須為正數。α 控制靠近 1 的權重，β 控制靠近 0 的權重。對於對稱分布，請設置 α = β。
2. 選擇機率類型： 選擇 P(X ≤ x) 以獲得累積機率，選擇 P(X ≥ x) 以獲得生存機率，或選擇 P(a ≤ X ≤ b) 以獲得範圍機率。
3. 輸入 x 值或範圍： 數值必須介於 0 和 1 之間。對於範圍機率，請同時輸入下限 a 和上限 b。
4. 查看結果： 檢查機率結果、形狀分類標籤、帶有機率陰影區域的互動式 PDF 和 CDF 圖表、分布特性（平均值、變異數、眾數）以及完整的逐步解題過程。

常見問題 (FAQ)