線積分計算機

計算純量場 (∫f ds) 與向量場 (∫F·dr) 沿著 2D 或 3D 參數曲線的線積分。輸入場函數、參數方程與邊界，即可獲得符號運算結果、逐步解題過程、弧長以及互動式曲線視覺化。

線積分計算機

線積分計算機可評估 2D 和 3D 空間中沿參數曲線的純量線積分 \(\int_C f\,ds\) 與向量線積分 \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)。輸入場函數、參數方程和參數範圍，即可獲得包含符號結果、弧長計算以及曲線動畫視覺化的完整逐步解題過程。

∫ 純量線積分沿曲線對 f 進行積分，按弧長 ds 加權

⟳ 向量線積分 F 與切線 dr 的點積，用於衡量功

📏 弧長曲線從 r(a) 到 r(b) 的總長度

🔄 保守場當 ∇×F = 0 時，積分與路徑無關

線積分公式

類型	公式	說明
純量 ∫f ds	\(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt\)	沿曲線對純量函數積分，按速率加權
向量 ∫F·dr	\(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)	點積積分，用於衡量功或環流量
弧長	\(L = \int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt\)	參數曲線的總長度
保守場	\(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\)	線積分基本定理

如何使用線積分計算機

選擇積分類型。 純量線積分請選擇「∫f ds」，向量（功/環流量）線積分請選擇「∫F·dr」。
選擇維度。 根據您的曲線和場函數選擇 2D 或 3D。
輸入場函數。 純量積分請輸入函數 f(x, y) 或 f(x, y, z)；向量積分請分別輸入分量 P、Q 和 R。
定義參數曲線。 輸入 x(t)、y(t) 及選填的 z(t)。請使用標準數學標記法，如 cos(t), t^2, sin(t) 等。
設置參數範圍。 輸入 t 的起始與結束值。您可以使用 pi 或 2*pi 等表達式。
點擊「計算」 以查看逐步解題過程、數值結果、弧長及曲線動畫。

常見參數曲線

曲線	參數化	範圍
圓形 (半徑 R)	x = R cos(t), y = R sin(t)	t ∈ [0, 2π]
線段 A→B	r(t) = (1−t)A + tB	t ∈ [0, 1]
拋物線 y = x²	x = t, y = t²	t ∈ [a, b]
螺旋線	x = cos(t), y = sin(t), z = t	t ∈ [0, 2π]
橢圓	x = a cos(t), y = b sin(t)	t ∈ [0, 2π]

理解計算結果

計算機在結果中提供以下資訊：

積分值： 盡可能提供精確的符號結果及其數值近似值。
弧長： 曲線的總長度，計算公式為 \(\int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\)。
速率 |r'(t)|： 速度向量的大小，作為弧長元素。
保守場檢查： 對於向量積分，計算機會檢查 ∇×F 是否等於 0（即場是否為保守場）。保守場具有路徑無關的特性。
曲線視覺化： 參數曲線的動畫圖，顯示移動點沿路徑追蹤的軌跡與方向。

常見問題 (FAQ)

什麼是線積分？

線積分是計算函數沿著曲線的積分。對於純量場，它是對 f 的值按弧長權重求和（∫f ds）。對於向量場，它是對 F 沿切線方向的分量求和（∫F·dr），通常被解釋為力場所做的功。

純量線積分和向量線積分有什麼區別？

純量線積分 ∫_C f ds 是將純量函數 f 沿著曲線按弧長元素 ds 進行積分，給出沿路徑累積的 f 總值。向量線積分 ∫_C F·dr 則是通過與切向量 dr 進行點積，將向量場 F 沿曲線進行積分，衡量 F 在曲線方向上的推動力大小。純量積分常用於質量和平均值問題；向量積分則用於計算功和環流量。

如何為線積分參數化曲線？

參數曲線 r(t) 將每個座標表示為單個參數 t 的函數。例如，半徑為 R 的圓參數化為 x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t)，其中 t 從 0 到 2π。然後線積分公式將曲線積分轉換為關於 t 的標準定積分。

向量線積分何時與路徑無關？

當向量場 F 是保守場時，向量線積分與路徑無關，這意味著在其單連通區域內各處的旋度均為零。在這種情況下，F 等於位能函數 φ 的梯度，且積分值僅取決於端點處 φ 的值，而與所採取的具體路徑無關。計算機會自動檢查此條件。

線積分的物理意義是什麼？

在物理上，純量線積分可以代表密度變化的金屬線質量，或沿路徑的總熱量。向量線積分通常代表力場對沿曲線移動的質點所做的功，或流體速度場繞迴路的環流量。在電磁學中，線積分出現在安培定律和法拉第定律中。

這台計算機支援哪些數學符號？

請使用標準數學標記法：^ 表示指數 (x^2)，* 表示乘法 (2*x，儘管像 2x 這樣的隱式乘法也適用)，以及標準函數名稱如 sin, cos, tan, exp, log, sqrt。參數範圍可以使用 pi, 2*pi 或數值。

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由 miniwebtool 團隊編製。最後更新日期: 2026-04-08

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