單位向量計算機

計算任意2D、3D或n維向量方向上的單位向量。得出向量長度、各分量正規化後的值、方向角、逐步正規化過程，以及結果長度確實為1的視覺證明。

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單位向量計算機

單位向量計算機使用公式 \(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\) 計算任何給定 2D、3D 或 n 維向量的方向正規化向量（單位向量）。輸入您的向量分量，即可立即獲得單位向量、長度（模）、方向角、縮放因子，以及帶有結果向量長度為 1 之視覺驗證的逐步正規化過程。

什麼是單位向量？

單位向量是長度（模）恰好為 1 的向量。它僅保留原始向量的方向，而去除其長度大小。單位向量通常用帶有「帽」形的符號表示：\(\hat{v}\)（讀作 "v-hat"）。每個非零向量都有一個唯一的、指向相同方向的單位向量。

標準基單位向量

x 軸

(1, 0, 0)

y 軸

(0, 1, 0)

k̂

z 軸

(0, 0, 1)

任何向量都可以表示為這些基單位向量的線性組合：\(\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k}\)。

單位向量公式

性質	公式	說明
單位向量	\(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\)	將每個分量除以向量長度
長度 (模)	\(\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)	向量的歐幾里得範數（長度）
驗證	\(\|\hat{v}\| = 1\)	單位向量的長度始終為 1
方向餘弦	\(\cos\alpha = \hat{v}_x, \; \cos\beta = \hat{v}_y, \; \cos\gamma = \hat{v}_z\)	單位向量的分量即為方向餘弦
恆等式	\(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)	方向餘弦的平方和始終等於 1

現實世界應用

🎮

遊戲開發

用於角色移動和攝像機控制的正規化方向向量

💡

3D 圖學

用於光照計算和著色的表面法線向量

⚡

物理學

力與速度的方向向量、力線方向

🤖

機器學習

特徵正規化與餘弦相似度計算

🧭

導航

GPS、無人機及自動駕駛車輛的航向向量

📡

訊號處理

傅立葉分析和濾波中的正規化基向量

如何使用單位向量計算機

選擇維度： 選擇 2D、3D 或高維度的自定義維度。或點擊快速範例以自動填充範例向量。
輸入向量： 輸入以逗號分隔的分量（例如，2D 為 3, 4 或 3D 為 1, 2, 3）。
查看即時預覽： 圖表會實時更新，在單位圓上顯示原始向量和單位向量。
點擊正規化向量： 按下按鈕以獲得完整結果，包括單位向量、方向角、分量細分和逐步驗證。
探索動畫： 點擊「動畫播放」按鈕觀察正規化過程 — 原始向量會平滑地縮小至單位圓。

單位向量的性質

長度始終為 1： 根據定義 \(|\hat{v}| = 1\) — 這是任何正規化過程的關鍵驗證。
與原始向量方向相同： \(\hat{v}\) 指向與 \(\vec{v}\) 完全相同的方向。
純量關係： \(\vec{v} = |\vec{v}| \cdot \hat{v}\)，因此任何向量都等於其長度乘以其單位向量。
方向餘弦： 單位向量的分量正是與各個坐標軸夾角的餘弦值。
點積關係： \(\hat{a} \cdot \hat{b} = \cos\theta\)，其中 θ 是兩個單位向量之間的夾角。

常見問題解答

什麼是單位向量？

單位向量是長度（模）恰好為 1 的向量。它的方向與原始向量相同，但經過縮放（縮小或放大）使其長度等於 1。單位向量也稱為正規化向量或方向向量。它們通常以帽形符號表示，如 v̂。

如何找到給定向量的單位向量？

要找到單位向量，請將向量的每個分量除以其長度。如果 v = (a, b, c)，首先計算長度 |v| = √(a² + b² + c²)，則單位向量為 v̂ = (a/|v|, b/|v|, c/|v|)。這個過程稱為正規化。

零向量有單位向量嗎？

沒有。零向量 (0, 0, 0) 的長度為 0，而除以零是未定義的。零向量沒有方向，因此無法為其定義單位向量。我們的計算機會檢測到這種情況並顯示清晰的訊息。

什麼是向量的方向角？

方向角 (α, β, γ) 是向量分別與正 x、y 和 z 軸所成的角度。它們是通過對單位向量的每個分量取反餘弦得到的：α = arccos(v̂ₓ), β = arccos(v̂ᵧ), γ = arccos(v̂_z)。方向餘弦滿足 cos²α + cos²β + cos²γ = 1。

為什麼單位向量很重要？

單位向量在物理學、工程學和電腦圖學中至關重要。它們代表不具長度的純方向，對於描述取向、表面法線、光照方向、速度方向以及坐標系統中的基向量必不可少。在機器學習中，將特徵向量正規化為單位長度是一個常見的預處理步驟。

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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-10

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