3D距離計算機

計算三維空間中兩點之間的歐幾里得距離。輸入座標 (x₁, y₁, z₁) 與 (x₂, y₂, z₂) 以獲取距離、中點、位移向量以及方向角，並附有逐步計算公式與互動式 3D 圖表。

3D距離計算機

這款 3D距離計算機使用距離公式 \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\) 來計算三維空間中兩點之間的歐幾里得距離。輸入點 A \((x_1, y_1, z_1)\) 和點 B \((x_2, y_2, z_2)\) 的座標，即可立即獲得距離、中點、位移向量、方向角以及替代距離指標（曼哈頓距離和切比雪夫距離），並附有逐步計算公式和互動式 3D 圖表。

實際應用

🎮

遊戲開發

3D 世界中的碰撞檢測與路徑尋找

🤖

機器人學

運動規劃與障礙物規避

🏗

建築

測量結構中的對角跨度

🌌

天文學

恆星與星系之間的距離

📡

GPS 與導航

包含海拔數據的 3D 定位

🧬

分子生物學

蛋白質中原子間的距離

關鍵公式

對於 3D 空間中的兩點 \(A(x_1, y_1, z_1)\) 和 \(B(x_2, y_2, z_2)\)：

屬性	公式	描述
歐幾里得距離	\(d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}\)	穿過空間的直線距離
中點	\(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)\)	恰好位於 A 和 B 中間的點
曼哈頓距離	\(d_M = \|\Delta x\| + \|\Delta y\| + \|\Delta z\|\)	沿軸對齊距離的總和
切比雪夫距離	\(d_C = \max(\|\Delta x\|, \|\Delta y\|, \|\Delta z\|)\)	沿任一軸的最大差異
方向餘弦	\(\cos\alpha = \frac{\Delta x}{d}\) \(\cos\beta = \frac{\Delta y}{d}\) \(\cos\gamma = \frac{\Delta z}{d}\)	與座標軸的夾角

理解 3D 距離公式

3D 距離公式是勾股定理的擴展。在 2D 中，兩點之間的距離為 \(d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\)。為了將其擴展到 3D，我們兩次應用該定理：首先在 xy 平面中獲得水平距離，然後將其與 z 軸差異結合。結果為 \(d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}\)。該公式給出了歐幾里得空間中兩點之間最短路徑（直線）的長度。

如何使用 3D距離計算機

輸入點 A 座標： 輸入第一個點的 x₁、y₁ 和 z₁ 值，或點擊快速範例以自動填寫兩個點。
輸入點 B 座標： 輸入第二個點的 x₂、y₂ 和 z₂ 值。
觀察即時預覽： 當您輸入時，等距 3D 預覽會即時更新，顯示兩點之間的空間關係。
點擊計算距離： 按下按鈕以計算所有結果。
查看結果： 查看歐幾里得距離、中點、位移向量、方向角和替代距離指標。切換圖表層以視覺化軸線、投影、中點和 xy 平面網格。

歐幾里得 vs. 曼哈頓 vs. 切比雪夫距離

歐幾里得距離 是直線距離 —— 穿過空間的最短路徑。曼哈頓距離（也稱為計程車距離或 L₁ 距離）是沿每個軸的絕對差值之和，就像在不允許對角線捷徑的城市網格中行走一樣。切比雪夫距離（L∞ 距離）是沿任何單一軸的最大絕對差值 —— 它代表兩點在「最壞情況」維度上的距離。歐幾里得距離總是 ≤ 曼哈頓距離，而切比雪夫距離總是 ≤ 歐幾里得距離。

方向餘弦與角度

方向餘弦描述了從 A 到 B 的線段相對於座標軸的方向。如果 \(\alpha\)、\(\beta\) 和 \(\gamma\) 分別是直線與 x、y 和 z 軸的夾角，則 \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)。此恆等式始終成立，是檢查計算準確性的有用方法。方向餘弦廣泛應用於物理、工程和電腦圖形學中，用於指定 3D 空間中的方位。

FAQ

什麼是 3D 距離公式？

3D 距離公式為 d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)。它計算三維空間中兩點之間的歐幾里得（直線）距離。它是通過兩次應用勾股定理推導出來的 —— 一次在 xy 平面中，一次納入 z 軸。

3D 距離與 2D 距離有何不同？

與 2D 公式相比，3D 距離公式在平方根下增加了一個第三項 (z₂ − z₁)²。在 2D 中，您僅考慮水平 (x) 和垂直 (y) 的差異。在 3D 中，您還考慮了深度（z 軸），它測量兩點在第三維度中的距離。

什麼是 3D 中的方向餘弦？

方向餘弦是兩點之間線段與正 x、y 和 z 軸所成角度的餘弦值。計算方式為 cos(α) = Δx/d, cos(β) = Δy/d, 以及 cos(γ) = Δz/d，其中 d 是距離。方向餘弦的平方和始終等於 1。

3D 中的中點公式是什麼？

3D 空間中兩點的中點為 M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)。它給出了沿每個座標軸恰好位於兩個給定點中間的點。

歐幾里得距離和曼哈頓距離有什麼區別？

歐幾里得距離是兩點之間的直線距離 —— 空間中可能的最短路徑。曼哈頓距離（也稱為計程車距離）是沿每個軸的絕對差值之和，代表受限於軸對齊方向的移動（如在城市網格上行走）。曼哈頓距離總是大於或等於歐幾里得距離。

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由 MiniWebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-03

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