3D曲面繪圖器

3D曲面繪圖器直接在您的瀏覽器中將任何二元函數 \( z = f(x, y) \) 繪製為完全互動式的 3D 地形景觀。在視埠內拖曳以旋轉曲面、滾動或捏合以縮放，以及按住右鍵拖曳（或在行動裝置上雙指平移）以滑動檢視。輸入您自己的函數，完全支援 sin、cos、exp、log、sqrt、常數 \( \pi \) 和 \( e \)，以及符合直覺的便捷輸入如 x^2 或 2xy — 或者點擊十種預設之一，即可立即渲染經典的馬鞍面、拋物面、墨西哥帽 sinc、猴馬鞍面、蛋盒面、高斯隆起等。在等角和透視投影、六種感知色彩映射以及三種線框樣式之間進行選擇，然後將目前視角匯出為高解析度 PNG。

3D 曲面繪圖的工作原理

經典曲面展覽館

此 3D 繪圖器的獨特之處

運算式語法 — 快速參考

解讀 3D 曲面

曲面圖將海量資訊同時編碼在形狀和顏色中。透過練習，您可以識別出以下幾種模式：

• 臨界點是曲面具有水平切平面的地方 — 局部極大值看起來像圓頂，局部極小值看起來像碗底，而馬鞍點在一個方向上向上彎曲，在垂直方向上向下彎曲。點擊「馬鞍面」預設並旋轉視角：沿著一個軸它是微笑曲線，沿著另一個軸它是哭臉曲線。
• 水平曲線（等高線）會自然出現 — 當色彩映射是漸變或地形風格時，相同顏色的條帶描繪出恆定 \( z \) 值的線條。
• 梯度方向是每個點上最陡峭的上坡方向。在視覺上，那是垂直於水平曲線的方向，指向更暖的顏色。
• 對稱性在 3D 中顯而易見：\( z = x^2 + y^2 \) 是旋轉對稱的（碗狀），\( z = x^2 - y^2 \) 僅具有鏡像對稱性（馬鞍狀），而 \( z = x^3 - 3xy^2 \) 具有美麗的三重旋轉對稱性（猴馬鞍面）。

從馬鞍面到 Sinc：一鍵導覽

預設展覽館是多元曲面教學中最常出現的引導導覽。為初次觀看者建議的順序如下：

1. 拋物面 \( z = x^2 + y^2 \) — 最友善的 3D 曲面。一個旋轉對稱的碗狀，在原點處有一個極小值。
2. 馬鞍面 \( z = x^2 - y^2 \) — 標誌性的品客洋芋片形狀。嘗試 cool-warm 色彩映射以立即看到正負區分。
3. 雙曲拋物面 \( z = xy \) — 旋轉了 45° 的馬鞍面。相同的形狀，不同的方向。
4. 猴馬鞍面 \( z = x^3 - 3xy^2 \) — 原點周圍有三個坡度而不是兩個。得名於猴子在這裡坐著時還需要一個放尾巴的地方。
5. 高斯曲面 \( z = e^{-(x^2+y^2)} \) — 2D 中的鐘形曲線。統計學、訊號處理和物理學的基礎。
6. Mexican-hat sinc \( z = \sin\sqrt{x^2+y^2}/\sqrt{x^2+y^2} \) — 徑向 sinc。出現在傅立葉光學、繞射圖案以及以此命名的小波中。
7. 蛋盒面 \( z = \sin x \sin y \) — 在兩個方向上具有週期性。開啟線框以查看網格線如何與凸起對齊。
8. 漣漪 \( z = \sin\sqrt{x^2+y^2} \) — 從原點擴散的同心波。嘗試較寬的 -8 到 8 定義域。

實際應用

• 多元微積分： 將偏導數、梯度、臨界點和拉格朗日乘子視覺化，無需每次都用手重新繪製。
• 物理學： 位能面、電磁場強度、流體壓力分佈和量子波函數都以 \( z = f(x, y) \) 的形式存在。
• 機器學習： 2D 權重子空間周圍的損失地形（loss landscapes）有助於建立為什麼梯度下降有效的直覺（以及為什麼馬鞍點是一個問題）。
• 電腦圖形學： 地形的高度圖（heightmaps）正是如此 — 在常規網格上對函數 \( h(x, y) \) 進行取樣，然後進行三角剖分。
• 土木工程： 用於地形分析、水壩集水區和土方量估算的高程模型。
• 資料視覺化： 任何取決於兩個獨立變數的量 — 國家的溫度、按地區和月份劃分的銷售額、跨兩個超參數的適應度 — 自然會渲染為曲面。

繪製精美圖表的技巧

• 使定義域與函數相匹配。 多項式通常顯示在 -3 到 3。像 sinc 這樣的振盪函數需要較寬的定義域（-8 到 8）才能展現漣漪。使用 -1 到 1 可以放大到原點附近的單個馬鞍面。
• 選擇正確的色彩映射。 對於任何具有正負區域的曲面，請使用 cool-warm — 白色中點可立即標記零水平面。對於非負曲面，請使用 viridis 或 plasma。對於地形風格的高度圖，請使用 terrain。
• 在作品渲染中關閉線框。 細微的線框非常適合教學（「查看網格」）。對於達到出版品質的圖表，請將線框設定為「關閉」，並將解析度提高到「高」或「超高」。
• 自動旋轉可捕捉豐富的動畫。 點擊「自動旋轉」然後開始螢幕錄製 — 非常適合將旋轉曲面嵌入到簡報中，而無需手動編排。
• 定義域過大可能會使曲面變平。 如果您的函數在邊緣附近返回巨大的值，內部細節就會塌陷。可以縮小定義域 orator 縮放函數（例如 \( z / 100 \)）以將主要結構帶回視野中。

常見問題