四次方程式計算機

四次方程式計算機

這款 四次方程式計算機 能夠找出任何形式為 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 的四次（四階多項式）方程式的所有四個根。輸入五個係數即可獲得即時結果，並提供使用費拉里法（Ferrari's method）的逐步解法、判別式分析、因式分解形式、韋達定理（Vieta's relations）以及互動式圖形。

如何使用四次方程式計算機

1. 輸入係數：輸入四次方程式 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 的 a, b, c, d 和 e 值。首項係數 a 不能為零。
2. 點擊「求解四次方程式」以計算所有四個根。
3. 查看根：每個根都會顯示標籤，說明它是實根還是複數根。實根顯示在綠色卡片中，複數根顯示在藍色卡片中。
4. 研究逐步解法：跟隨費拉里法的步驟，從簡化四次方程式到輔助三次方程式，再到最後的二次因式分解。
5. 探索圖形：查看繪製出的四次函數圖形，實根以綠色標記。

什麼是四次方程式？

四次方程式是次數為四的多項式方程式：

\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)

其中 \(a \neq 0\)。根據 代數基本定理，每個四次方程式恰好有四個根（包含重根），這些根可能是實數或複數。與三次方程式總是至少有一個實根不同，四次方程式可能有 0、2 或 4 個實根。

費拉里法

費拉里法由 Lodovico Ferrari 於 1540 年發現（並由其導師卡爾達諾於 1545 年發表），這是求解四次方程式的古典方法。其運作方式如下：

1. 簡化四次方程式：代入 \(x = t - \frac{b}{4a}\) 以消除三次項，得到 \(t^4 + pt^2 + qt + r = 0\)
2. 引入輔助變數：在兩邊加上 \(mt^2 + m^2/4\) 並選擇 \(m\)，使右邊成為完全平方式
3. 解輔助三次方程式：構成完全平方式的條件會導出一個關於 \(m\) 的三次方程式
4. 因式分解為二次式：有了正確的 \(m\)，四次式可分解為 \((t^2 + st + u_1)(t^2 - st + u_2) = 0\)
5. 兩次應用二次公式以找出所有四個根

四次方程式的判別式

四次方程式的 判別式 是一個關於係數的多項式表達式，用於決定根的性質：

• \(\Delta > 0\)：要麼四個根全為實根，要麼全為複數根（兩對共軛複數）
• \(\Delta < 0\)：恰有兩個實根和兩個共軛複數根
• \(\Delta = 0\)：方程式至少有一個重根

四次方程式的判別式比三次方程式複雜得多，涉及係數的最高次數達到 6 次。

四次方程式的韋達定理

如果 \(x_1, x_2, x_3, x_4\) 是 \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\) 的四個根，則：

• \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}\)
• \(\sum_{i
• \(\sum_{i
• \(x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{e}{a}\)（所有根的乘積）

特殊情況

• 雙二次方程式（\(b = d = 0\)）：\(ax^4 + cx^2 + e = 0\) — 代入 \(u = x^2\) 並求解得到的二次方程式
• 簡化四次方程式（\(b = 0\)）：\(x^4 + cx^2 + dx + e = 0\) — 已是費拉里法的簡化形式
• 平方差：\(x^4 - k^2 = (x^2 + k)(x^2 - k)\)
• 完全四次方：\((x - r)^4 = x^4 - 4rx^3 + 6r^2x^2 - 4r^3x + r^4\)

四次方程式 vs. 更高次數

四次方程式是 最高次數的多項式方程式，可以透過根號（僅使用加、減、乘、除和開方）來求解。這由 Abel 於 1824 年證明，並由 Galois 擴展 — 一般的五次（次數 5）及更高次方程式沒有閉合形式的代數根式解。

四次方程式的應用

• 光學：光線穿過彎曲表面的追蹤（光線與環面的交點）
• 工程學：Euler-Bernoulli 樑撓度方程式、振動分析
• 物理學：量子力學中的四次位能、耦合振子系統
• 電腦圖學：射線與環面相交、Bezier 曲線分析
• 幾何學：尋找二次曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）的交點
• 控制理論：四階系統的穩定性分析

常見問題

什麼是四次方程式？

四次方程式是次數為 4 的多項式方程式，寫作 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0，其中 a 不為零。每個四次方程式恰好有四個根（包含重根），這些根可能是實數或複數。

費拉里法是如何運作的？

費拉里法求解四次方程式的方法是：首先轉換為簡化四次方程式（消除三次項），然後透過輔助三次方程式引入輔助變數。解出此三次方程式可得到一個值，使四次方程式能分解為兩個二次方程式，接著再使用二次公式求解。

四次方程式的判別式告訴你什麼？

判別式決定了根的性質。如果為正，則所有根要麼全為實根，要麼全為複數根。如果為負，則恰有兩個實根和兩個共軛複數根。如果為零，則方程式至少有一個重根。

四次方程式的四個根可以全是複數嗎？

可以，與三次方程式不同，具有實係數的四次方程式其四個根可以全部都是複數。在這種情況下，這些根會組成兩對共軛複數。

什麼是四次方程式的韋達定理？

韋達定理將四個根與係數聯繫起來。對於根為 r1, r2, r3, r4 的 ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0：根之和等於 -b/a，兩兩乘積之和等於 c/a，三三乘積之和等於 -d/a，而所有根的乘積等於 e/a。

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