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三角形外接圓計算機

計算三角形的外接圓。輸入三邊長度或三個頂點座標，即可求得外接圓半徑、外心位置、面積、角度，並查看包含逐步公式的互動式圖表。

三角形外接圓計算機
示例：
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對應頂點 A
對應頂點 B
對應頂點 C
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頂點 A
頂點 B
頂點 C

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三角形外接圓計算機

三角形外接圓計算機可以計算任何三角形的外接圓。外接圓是通過三角形所有三個頂點的唯一圓。輸入三條邊長或三個頂點坐標，即可立即計算外接圓半徑、外心位置、三角形面積、內角等，並附帶互動式 SVG 圖表和逐步公式。

外接圓的關鍵概念

⊙
外接圓
通過三角形所有 3 個頂點的唯一圓
⊕
外心
圓心點，與所有 3 個頂點的距離相等
⊥
垂直平分線
交於外心的三條線
↔
外接圓半徑
R = abc / (4K)，其中 K 是三角形面積

外接圓公式

對於邊長為 a, b, c 且半周長為 s = (a + b + c) / 2 的三角形：

性質公式描述
三角形面積 (海龍公式)\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)使用半周長從三邊計算面積
外接圓半徑\(R = \frac{abc}{4K}\)外接圓的半徑
外接圓面積\(A = \pi R^2\)外接圓圍成的面積
外接圓周長\(C = 2\pi R\)外接圓的周長
內切圓半徑\(r = \frac{K}{s}\)內切圓的半徑
歐拉距離\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)外心與內心之間的距離

依三角形類型的外心位置

外心的位置取決於三角形的類型：

如何找到外接圓

  1. 選擇您的輸入方法：如果您知道邊長 a、b、c，請選擇「三條邊」；如果您有每個頂點的坐標，請選擇「三個頂點」。
  2. 輸入數值：輸入三條邊長或頂點 A、B 和 C 的 (x, y) 坐標。點擊快速示例可自動填入樣本數值。
  3. 點擊計算：按下「計算三角形外接圓」按鈕。
  4. 查看結果：查看外接圓半徑 R、外心坐標、外接圓面積和周長、三角形面積、角度、內切圓半徑以及 R/r 比率。
  5. 探索圖表：切換外接圓、垂直平分線、半徑、內切圓和標籤的圖層，以視覺化幾何結構。

實際應用

外接圓在許多領域都有重要應用。在測量與導航中，外接圓有助於使用三角測量法確定位置。在電腦圖學中，Delaunay 三角剖分通過確保沒有頂點位於任何三角形的外接圓內，來使最小角度最大化。在工程學中，外接圓定義了三角形組件的最小包圍邊界。外接圓也是計算幾何算法（如網格生成和 Voronoi 圖）的基礎。

歐拉定理與外接圓

歐拉不等式指出，對於任何三角形，外接圓半徑 R 至少是內切圓半徑 r 的兩倍：R ≥ 2r。僅當為等邊三角形時等式成立。此外，歐拉公式將外心 O 與內心 I 之間的距離 d 關聯為 \(d^2 = R(R - 2r)\)。這一優雅的結果將與三角形相關的兩個最基本的圓聯繫起來，揭示了三角形幾何的深層特性。

常見問題解答

什麼是外接圓？
外接圓是通過三角形所有三個頂點的唯一圓。其中心稱為外心，其半徑稱為外接圓半徑。每個非退化三角形（不在同一直線上的三個點）都恰好有一個外接圓。
如何找到三角形的外接圓半徑？
邊長為 a, b, c 且面積為 K 的三角形，其外接圓半徑 R = abc / (4K)。首先使用海龍公式找到面積：K = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，其中 s = (a+b+c)/2。然後將三條邊的乘積除以面積的四倍。
三角形的外心在哪裡？
外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點。對於銳角三角形，它位於三角形內部。對於直角三角形，它位於斜邊的中點。對於鈍角三角形，它位於三角形外部，最長邊的另一側。
每個三角形都有外接圓嗎？
是的，每個非退化三角形（不在同一直線上的三點）都恰好有一個外接圓。這是歐幾里得幾何的一個基本定理：不在同一直線上的三點唯一確定一個圓。
外接圓半徑與內切圓半徑之間的關係是什麼？
對於任何三角形，歐拉不等式指出 R ≥ 2r，其中 R 是外接圓半徑，r 是內切圓半徑。僅當為等邊三角形時等式成立。歐拉公式也給出了兩個中心之間的距離：d² = R(R − 2r)，其中 d 是外心與內心之間的距離。

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由 MiniWebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-03

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