為什麼 FFT 幅值不等於正弦波的振幅？

原始 FFT 幅值會隨著樣本數增加而增大：振幅為 A 的正弦波在其對應頻率分量中給出的幅值約為 A x N / 2，因此 128 個樣本的單位正弦波顯示的幅值接近 64。除以 N / 2 即可還原振幅，而 Hann 等窗函數也會根據其相干增益（0.5）縮放峰值。「振幅」欄同時套用了這兩項修正，因此單位正弦波讀數為 1.00，且當音調落在頻率分量之間時還會對峰值頻率進行內插。

快速傅立葉變換FFT計算機

MiniWebtool 的快速傅立葉轉換（FFT）計算工具會將實數或複數樣本轉換為頻率區間。取樣率、窗函數及補零設定會影響振幅、相位、頻率標籤與峰值摘要，供解讀訊號頻譜。

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我想了解 MiniWebtool 的「快速傅立葉變換FFT計算機」：https://miniwebtool.com/zh-tw/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E5%82%85%E7%AB%8B%E8%91%89%E8%AE%8A%E6%8F%9Bfft%E8%A8%88%E7%AE%97%E6%A9%9F/。這個工具適合用來做什麼？需要輸入哪些內容或選擇哪些設定？請用一個簡單的例子，逐步說明操作方式，以及如何解讀結果。請以該頁面為依據，用臺灣慣用的繁體中文回答。

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快速傅立葉轉換把訊號分解為頻率：在 3 Hz 和 7 Hz 處有尖峰

在下方輸入取樣點與取樣率，即可得到頻譜的振幅、相位、頻率分格與主要峰值。

快速範例：

正弦波類 8 樣本加窗脈衝複數旋轉相量乾淨正弦波

訊號樣本實數或複數

使用逗號、空格、分號或換行符分隔樣本。複數值可以使用 3+4i、-2i 或 1.25-0.5i。

產生測試訊號

音調 (Hz:振幅) 採樣率 (Hz) 樣本數雜訊 (標準差)

採樣率 Hz 或樣本/單位

窗函數

FFT 長度

頻譜視圖

預設長度會補零至 2 的冪次方，以便使用 radix-2 FFT 路徑。

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快速傅立葉變換FFT計算機

快速傅立葉變換FFT計算機能計算有限訊號序列的離散傅立葉變換，並將結果轉化為實用的頻率分量輸出：包括實部與虛部組件、幅值、歸一化幅值、相位角、頻率標記、主導峰值以及可複製的頻譜數據。它接受實數或複數樣本，支援常見的窗函數，並預設使用 2 的冪次方補零，以便使用快速 radix-2 演算法。

功能概覽

快速傅立葉變換FFT計算機會將實數或複數取樣轉換為頻率區間。它回報頻率、實部與虛部、振幅、標準化振幅與相位，並提供視窗與補零選項，以及波形與頻譜圖。

快速傅立葉變換FFT計算機：功能一覽
功能	提供內容	適用情境
實數或複數輸入	貼上取樣值，例如 0, 1, 0, -1，或複數值，例如 1+0i, 0+1i, -1+0i, 0-1i。	核對教科書上的 FFT 範例
測試訊號產生器	以 Hz:振幅的配對輸入音調，並設定取樣率、取樣數與可選的雜訊，然後自動填入取樣值。	產生測試訊號來進行實驗
視窗函數	可選擇矩形、Hann、Hamming 或 Blackman 視窗，以在轉換前減少頻譜洩漏。	未包含整數個週期的實測訊號
FFT 長度	可選擇下一個 2 的冪次、輸入長度，或 2 的冪次的兩倍，以得到更密的頻率網格。	控制補零與頻率間距
頻譜輸出	頻譜表以單邊或全頻方式，列出頻率、實部、虛部、振幅、標準化振幅與以度為單位的相位。	找出音調位置並比較相位
峰值與匯出	列出主要峰值與頻率解析度（取樣率除以 FFT 長度）。可將頻譜複製為 CSV 或複數向量。	將結果移到試算表或程式中

FFT 計算什麼

對於由 N 個樣本 x[0], x[1], ..., x[N−1] 組成的序列，離散傅立葉變換會產生 N 個複數分量 X[0], X[1], ..., X[N−1]。每個分量衡量了該分量頻率的正弦波成分在訊號中的強弱程度。

X[k] = Σ x[n] · e^(−2πi·k·n/N), 對於 k = 0, 1, ..., N−1

FFT 是計算同一 DFT 的高效方法。當變換長度為 2 的冪次方時，radix-2 FFT 將運算量從大約 N² 次複數運算減少到約 N log₂ N 次，這就是為什麼在訊號處理工作流中經常將長度補零至下一個 2 的冪次方。

如何閱讀輸出結果

快速傅立葉變換FFT計算機: 如何閱讀輸出結果
欄位	意義	典型用途
頻率 (Frequency)	使用採樣率 / FFT 長度將分量索引轉換為物理單位。	定位音調、振動頻率、調製頻帶或週期性成分。
實部 / 虛部 (Real / Imaginary)	每個分量的複數 FFT 係數。	保留完整的相位資訊，用於重構或進一步的數學運算。
幅值 (Magnitude)	複數係數的大小，記作 \|X[k]\|。	識別哪些頻率最強。
相位 (Phase)	複數係數的角度（以度為單位）。	比較組件或通道之間的時序偏移。
歸一化幅值 (Normalized magnitude)	幅值除以 FFT 長度。	比較使用不同補零長度計算出的頻譜。

採樣率與頻率解析度

如果您的採樣率為 Fs 且 FFT 長度為 N，則相鄰的 FFT 分量間距為 Fs / N。較大的 FFT 長度會產生更密的分量間距，但補零並不會產生新資訊；它只是對現有訊號片段的頻率網格進行插值。

分量 k 的頻率 = k · Fs / N 且 Δf = Fs / N

對於實值輸入，正頻率的一半通常就足夠了，因為負頻率部分是複共軛鏡像。對於複值輸入，全頻譜通常都有意義，此計算機在複數範例中會自動切換到全頻譜視圖。

窗函數指南

窗函數會在 FFT 之前改變採樣片段的邊緣。當片段不包含整數個週期時，這可以減少頻譜洩漏 (Spectral leakage)。代價是窗函數會將能量分散到較寬的主瓣，並改變幅值縮放。

快速傅立葉變換FFT計算機: 窗函數指南
窗函數	最適用於	權衡/代價
矩形窗 (Rectangular)	已經與採樣窗口完美對齊的訊號。	當擷取片段在週期中段截斷波形時，洩漏最高。
Hann	通用頻譜檢查和順滑的洩漏減少。	適度的幅值損失和適度的主瓣寬度。
Hamming	在保持緊湊主瓣的同時減少鄰近旁瓣。	邊界處比 Hann 稍微不夠平滑。
Blackman	抑制強音調對較弱鄰近分量的洩漏。	主瓣較寬，因此較難區分相近的頻率。

如何使用此計算機

貼上實數或複數樣本序列。使用如 0, 1, 0, -1 或 1+0i, 0+1i, -1+0i, 0-1i 的值。
輸入採樣率。如果您只需要歸一化的每樣本週期數，請使用 1。
選擇窗函數。精確的合成範例建議從矩形窗開始，測量訊號則建議使用 Hann 窗。
選擇 FFT 長度。「下一個 2 的冪次方」是最快的預設選項；「2 的冪次方兩倍」可提供更密集的顯示網格。
點擊計算 FFT，然後檢查幅值圖、峰值列表、相位欄位以及可複製的 CSV 輸出。

計算實例

對於在採樣率為 8 時的樣本序列 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1，該訊號在 8 個樣本中完成了兩個週期。最強的非直流 FFT 分量會出現在相應的正負頻率位置。在單邊模式下，正頻率峰值最容易閱讀。

常見問題 (FAQ)

FFT 計算機計算什麼？
FFT 計算機計算有限序列的離散傅立葉變換。它將時域樣本重寫為具有複數振幅、幅值和相位的頻率分量。

我需要 2 的冪次方數量的樣本嗎？
當變換長度為 2 的冪次方時，radix-2 FFT 最快。此計算機可以自動將您的輸入補零至下一個 2 的冪次方，對於非 2 冪次方的較短精確長度序列，它會使用直接 DFT 作為備用方案。

FFT 頻率解析度是什麼？
頻率解析度是採樣率除以 FFT 長度。例如，1000 Hz 的採樣率和 1024 點 FFT 產生的分量間距約為 0.9766 Hz。

我應該使用 Hann、Hamming 還是 Blackman 窗？
當您擷取的片段不包含整數個週期時，請使用窗函數。Hann 是一個平衡的通用選擇，Hamming 可減少鄰近的旁瓣，而 Blackman 則提供更強的旁瓣抑制，但主瓣較寬。

為什麼 FFT 結果是複數？
每個頻率分量都包含振幅和相位。實部和虛部是存儲該相位相關正弦分量的簡潔方式。

每秒取樣 1,000 次的 FFT 能偵測到 60 Hz 音調嗎？
可以。奈奎斯特頻率是取樣率的一半，因此每秒取樣 1,000 次時，奈奎斯特頻率為 500 Hz；60 Hz 音調低於此上限，可以被表示。FFT 頻率格點間隔取決於轉換長度：使用 1,000 個樣本且不補零時，頻率格點間隔為 1 Hz。如果音調在取樣區段內沒有剛好完成整數個週期，能量可能會分散到附近的格點。

我的 FFT 取樣率對應的奈奎斯特頻率是多少？
奈奎斯特頻率是取樣率的一半。如果取樣率為 800 Hz，奈奎斯特頻率就是 400 Hz；因此，單靠這些樣本無法將高於 400 Hz 的頻率與較低頻率的混疊訊號明確區分。此限制假設取樣時間間隔固定，且訊號取樣正確。透過補零增加 FFT 長度，會讓頻率格點變密，但不會提高奈奎斯特頻率，也無法還原未被取樣的資訊。

為什麼乾淨的音調旁邊也會出現 FFT 能量？
有限長度的取樣區段可能會在音調尚未完成整數個週期時就結束。突然開始和停止會讓音調能量散布到相鄰頻率格點，這種現象稱為頻譜洩漏。Hann、Hamming 或 Blackman 視窗能減少洩漏，但各自也會改變頻譜峰值的寬度和振幅。如果音調出現在幾個相鄰格點中，請檢查取樣長度和視窗設定。

引用此內容、頁面或工具為：

"快速傅立葉變換FFT計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/快速傅立葉變換fft計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊提供。更新日期：2026年4月24日

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