圓錐曲線識別器

從一般二次方程式 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 識別圓錐曲線類型（圓、橢圓、拋物線或雙曲線）。獲取逐步分類、主要性質、標準式以及互動式圖表。

圓錐曲線識別器

圓錐曲線識別器可將 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 形式的任何一般二次方程式分類為四種圓錐曲線類型之一：圓、橢圓、拋物線或雙曲線。它還能檢測退化情況，例如點、單直線、相交直線和平行線。輸入六個係數即可獲得即時識別，並附帶詳細的分步分類、關鍵幾何屬性和互動式圖表。

四種圓錐曲線

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圓形

到中心距離相等的所有點的集合。是橢圓的特殊情況，其中 A = C 且 B = 0。離心率 = 0。

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橢圓

具有兩個焦點的卵形曲線。從曲線上任何一點到兩個焦點的距離之和為常數。離心率介於 0 和 1 之間。

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拋物線

U 形曲線，曲線上每個點到焦點與到準線的距離相等。離心率 = 1。

⟠

雙曲線

兩個鏡像分支。從曲線上任何一點到兩個焦點的距離之差為常數。離心率 > 1。

如何識別圓錐曲線

從一般方程式識別圓錐曲線的關鍵是 判別式 \(\Delta = B^2 - 4AC\)，由二次項的係數計算得出。此值在坐標軸旋轉下保持不變。

判別式 (B² − 4AC)	圓錐曲線類型	附加條件
< 0	橢圓	A ≠ C 或 B ≠ 0
< 0	圓形	A = C 且 B = 0
= 0	拋物線	A 或 C（非兩者）為 0
> 0	雙曲線	—

Bxy 項的作用

當係數 B 不為零時，圓錐曲線的主軸相對於 x 軸和 y 軸發生了旋轉。為了消除 xy 項，我們將軸旋轉角度 \(\theta = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{B}{A - C}\right)\)。旋轉後，方程式呈現不含交叉項的標準形式，從而更容易識別中心、焦點和頂點等屬性。

退化圓錐曲線

並非每個二次方程式都會產生完整的圓錐曲線。當平面通過圓錐的頂點時，會發生 退化情況：

單個點： 退化橢圓，曲線塌縮至其中心。
兩條相交直線： 退化雙曲線。
兩條平行線、一條直線或無實曲線： 退化拋物線的情況。
虛橢圓： 沒有實數點滿足方程式。

如何使用圓錐曲線識別器

輸入係數： 輸入一般方程式 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 中的 A、B、C、D、E 和 F 的值。
使用快速範例： 點擊預設按鈕（圓形、橢圓、拋物線、雙曲線或旋轉）以自動填充範例係數。
點擊識別： 按下「識別圓錐曲線」按鈕對方程式進行分類。
查看結果： 查看圓錐曲線類型、判別式、幾何屬性（中心、焦點、離心率、軸）、分步解答和互動式圖表。
探索圖表： 拖動以平移，捲動以縮放，或使用 +/− 按鈕。圖表會根據給定的方程式繪製實際曲線。

實際應用

圓錐曲線在科學和工程中隨處可見。行星軌道是橢圓（克卜勒第一定律）。衛星天線和汽車大燈使用拋物面反射器來聚焦信號。雙曲線出現在導航系統（LORAN）以及具有足夠能量脫離引力場的物體路徑中。圓形在車輪、齒輪和鐘面中無處不在。

常見問題 (FAQ)

什麼是圓錐曲線？

圓錐曲線是由平面與雙錐面相交而形成的曲線。四種類型分別是圓、橢圓、拋物線和雙曲線。它們都由一般二次方程式 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 描述。

如何從方程式識別圓錐曲線？

計算判別式 Δ = B² − 4AC。如果 Δ < 0，則是橢圓（如果 A = C 且 B = 0 則為圓）。如果 Δ = 0，則是拋物線。如果 Δ > 0，則是雙曲線。同時也要檢查退化情況。

圓錐曲線的判別式是什麼？

判別式 Δ = B² − 4AC 是根據二次項的係數計算得出的。它決定了圓錐曲線的類型，並且在旋轉下是不變的，這意味著無論坐標軸如何定向，它都會給出相同的值。

什麼是退化圓錐曲線？

當一般方程式分解為更簡單的曲線時，就會發生退化圓錐曲線：單個點（退化橢圓）、兩條相交直線（退化雙曲線）或平行/重合直線（退化拋物線）。當切割平面通過圓錐的頂點時，就會產生這些情況。

一般方程式中的 Bxy 項代表什麼？

Bxy 項表示圓錐曲線的軸相對於坐標軸發生了旋轉。當 B ≠ 0 時，可以通過旋轉軸角度 θ = ½ arctan(B/(A−C)) 來消除 xy 項，從而揭示圓錐曲線的標準形式。

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