微積分

計算單邊 Z 轉換與因果逆 Z 轉換。可輸入序列公式、有限樣本或有理式 X(z)，得到轉換、收斂域、極零點、樣本表與 z 平面圖。

輸入 dy/dx = f(x, y)、初值與 x 範圍，求解微分方程，並產生斜率場與解曲線。

計算三重積分，支援定積分與不定積分，並提供逐步推導。結果可搭配立體圖形，方便核對積分區域。

輸入係數、強迫項、初值與 x 範圍，求出常微分方程式的封閉解、阻尼分類與相平面圖。

輸入 P(x)、Q(x)、指數 n 與初始條件，把伯努利方程線性化、求出封閉解，並繪製斜率場。

輸入多變數函數，並指定變數與微分階數，例如 x:2,y:1。查看偏導數的計算步驟及所套用的微分法則。

輸入週期函數與區間，計算傅立葉係數 a0、an 與 bn。一次最多算 20 項。

用一階與二階導數檢定求出函數的極大極小值。並標出臨界點、增減區間、凹凸性與反曲點，圖形可對照步驟。

求函數在指定展開點的冪級數，並計算泰勒與馬克勞林係數。同時判定收斂半徑與收斂區間，並觀察部分和如何逐步逼近原函數。

計算訊號或函數的線性、循環與連續卷積。附互動圖、逐步展開與數學分析。

計算單變數函數的導數，並逐步標示所用微分法則。可畫函數圖並分析臨界點。

對函數求導數，並逐步展開微分過程。支援單變數、偏導數、隱函數與方向導數，並可看圖。

輸入微分方程式或矩陣係數，分類平衡點、逐步計算特徵值，並產生軌跡相圖。

輸入函數 f(x) 與區間 [a, b]，計算割線斜率，並附逐步 MathJax 公式與圖形。

輸入被積函數與上下限，無限也可以。計算第一型與第二型廣義積分，並附步驟說明是否收斂。

輸入實數或複數樣本與取樣率，計算離散 FFT 的振幅、相位、頻率區間與主要峰值。

輸入一個 t 的函數，即可看到它的拉普拉斯轉換與步驟，以及時間域和 s 域的圖。

用比值審斂法或根值審斂法求出冪級數的收斂半徑與收斂區間。附端點檢定、逐步過程與收斂示意圖。

對 2D 或 3D 向量場求散度，並逐步做偏微分。可在指定點求值、辨識源與匯，並以熱圖呈現。

輸入函數與區間，比較 Gauss-Legendre、Romberg 與適應性 Simpson 的結果，並附誤差與求值次數。

輸入一階常微分方程與 x、y 的範圍，畫出斜率場，最多加上 8 條解曲線，並顯示平衡零斜線。

輸入多變數函數、一個點與一個方向，即可得到方向導數與梯度，並附步驟。最大值等於梯度的大小。

以行列式逐步展開，計算二維或三維向量場的旋度。可輸入分量函數、求符號式或特定點的值，並辨識無旋場。

計算旋轉曲面的表面積。輸入函數 f(x)、積分區間與旋轉軸，以圓盤法或殼層法逐步求解，並附立體圖。

用圓盤法、墊圈法或圓柱殼法計算旋轉體體積。輸入函數、邊界與旋轉軸，即可得到逐步解題與互動立體圖。

輸入 y=f(x) 或參數曲線，以及一個點，取得曲率、曲率半徑與密切圓，並附上導數步驟。

計算純量場的曲面積分，以及向量場穿過參數曲面的通量。可選球面、圓柱、圓錐、拋物面或環面，或自行輸入，並附法向量與立體示意。

計算一組函數的 Wronskian 行列式，用來檢驗線性獨立。會顯示含導數的矩陣、逐步展開，並判定是否構成基本解組。

計算多變數函數的梯度向量，支援 f(x,y) 與 f(x,y,z)。可得各偏導數、指定點的梯度、大小與方向，並看二維梯度場。

輸入含積分上下限與子區間數的函數，或直接輸入 x、y 資料來近似計算積分。查看計算步驟與每個梯形的面積。

求出函數極限，並寫出逐步推導。支援單側極限、未定式與洛必達法則。

用歐拉法數值求解一階常微分方程。可看迭代表、斜率場上的折線，以及不同步長的收斂比較。

計算函數在某點附近的泰勒級數展開。附逐步導數、對照圖與說明。

輸入分子、分母與要求極限的那一點，無窮大也可以。對 0/0 或無窮大除以無窮大的形式逐次微分求值，並附步驟。

求收斂無窮級數的和，涵蓋等比、伸縮、p-級數與常見特殊級數。附收斂判斷與部分和視覺化。

以牛頓–拉弗森法求方程式的根。輸入函數與初始猜測，即可逐步看到迭代、切線近似、收斂情形與趨近根的路徑。

選擇滑動的梯子、注水的圓錐、膨脹的球或氣球這類情境，輸入已知的變化率，即可得到相關變化率並附步驟。

以極限定義計算函數在某點的瞬時變化率。附切線圖、逐步公式，以及 h 趨近零的收斂表。

計算不定積分與定積分，並給出逐步過程與函數圖形。適合微積分作業與快速核對答案。

以比值、根值、積分、比較、極限比較、交錯級數與 p 級數等判別法檢驗無窮級數是否收斂。並附逐步解法與部分和圖形。

計算純量場或向量場沿參數曲線的二維與三維線積分。輸入場、參數式與上下限，得到符號結果、弧長與曲線圖。

以辛普森 1/3 法則、3/8 法則及複合法則近似定積分。可看拋物線示意、誤差估計與逐步過程。

對 F(s) 做拉普拉斯反轉換以求 f(t)。附逐步過程與圖形，對照頻域與時域。

對隱函數 F(x,y)＝0 求導數，並給出逐步過程。支援多項式、三角、指數與對數，最高可到五階。

輸入函數、積分變數與可選的上下限，計算雙重積分，並附逐步解法與 3D 曲面圖。

求出常見函數在 x＝0 的馬克勞林級數。給出 n 階多項式、拉格朗日餘項、收斂半徑，以及部分和逼近原函數的圖形。

用左端點、右端點、中點、梯形公式或辛普森法則近似定積分。可看動畫矩形、逐步過程與收斂分析。

輸入方程式、初始條件與步長，查看每一步的 k1 到 k4 與解表，最多 1000 步。