微積分

計算單邊 Z變換與因果逆 Z變換。輸入序列公式、有限樣本列表或有理式 X(z) 以獲取變換結果、收斂域 (ROC)、極點與零點、樣本表以及視覺化 z 平面分析。

以符號與數值方式求解一階常微分方程。自動判斷可分離、線性、恰當或自治形式並套用對應解法，並繪出附解曲線的互動斜率場。

使用詳細的逐步解題步驟和 3D 視覺化計算三重積分。支援具有符號計算的定積分和不定積分。

求解常係數的二階線性常微分方程，無論齊次與否。推導特徵方程式，將阻尼分類為過阻尼、臨界阻尼或欠阻尼，給出封閉解並繪出相平面軌跡。

逐步求解伯努利微分方程式。以v = y^(1-n)代換將方程式線性化，建立積分因子，求出封閉解，並繪製特解曲線與斜率場的對照圖。

計算多變數函數的偏微分，提供詳細的逐步解決方案、互動式範例和切平面的幾何視覺化。

計算任意週期函數的傅立葉級數係數a0、an與bn，呈現完整積分計算過程、係數表、部分和公式，以及函數與其傅立葉近似的比較圖。

以一階與二階導數檢定求任意函數的最大值與最小值。取得臨界點、遞增遞減區間、凹凸性分析、反曲點,以及附詳細步驟的互動圖形。

求函數在任意中心點的冪級數表示式。計算泰勒與馬克勞林係數，以端點分析判定收斂半徑與收斂區間，並觀察部分和逐步收斂的過程。

計算信號和函數的線性、循環和連續卷積，具有互動式視覺化、詳細的逐步解決方案和全面的數學分析。

計算任何單變量函數的導數，提供逐步解題過程、微分法則識別、互動式圖形和臨界點分析。

即時計算導數並提供逐步解題過程。支援單變量、偏導數、隱函數和方向導數，並配有互動式視覺化圖表。

以符號與數值方式求解常微分方程組。將平衡點分類為鞍點、節點、螺旋或中心，逐步推導特徵值，並繪製含軌跡的互動相圖。

使用差商計算函數在某區間的平均變化率。輸入任意f(x)，取得割線斜率、附MathJax公式的逐步解法，以及割線與曲線的圖形。

計算含無限上下限或不連續點的瑕積分。支援第一型無限界限與第二型無界被積函數,附逐步解法、收斂性分析、圖形化與截斷極限比較。

計算實數或複數訊號序列的離散FFT。應用常見的窗函數，選擇FFT長度與零填充，檢查振幅、相位、頻率分量、主峰值，並可複製完整的複數頻譜。

通過詳細的分步解決方案、互動式函數預設以及時域和頻域函數的双重視覺化，立即計算拉普拉斯轉換。

使用比值審斂法（Ratio Test）或根值審斂法（Root Test）確定冪級數的收斂半徑與收斂區間，提供逐步解題過程、收斂視覺化圖表以及端點分析。

以逐步偏微分計算任意2D或3D向量場的散度。輸入分量函數，取得符號散度式、在特定點求值、辨識源與匯，並提供熱力圖呈現。

以高斯-勒讓德求積法、龍伯格外推法與自適應辛普森求積法逼近定積分。在同一工作區比較估計值、誤差訊號、函數求值次數、收斂情形與自適應區間分布。

在自訂x-y範圍內繪出任意一階常微分方程的斜率場。點擊畫布即可生成解曲線，觀察粒子沿場流動，並顯示平衡點虛零線，以純SVG呈現，方便儲存或分享。

計算多元函數的方向導數，提供逐步解題過程、梯度計算、單位向量正規化以及互動式 3D 曲面視覺化。

以逐步行列式展開計算任意2D或3D向量場的旋度。輸入分量函數，取得符號旋度式、在特定點求值、辨識無旋場，並提供渦度疊層視圖。

計算旋轉體的表面積。輸入任何函數 f(x)，設定積分邊界和旋轉軸，即可獲得使用圓盤法和殼層法表面積公式的逐步解法以及互動式 3D 視覺化圖表。

使用圓盤法、墊圈法和圓柱殼法計算旋轉體的體積。輸入您的函數、邊界和旋轉軸，即可獲得帶有互動式 3D 視覺化效果的逐步解題過程。

計算函數 y=f(x) 或參數曲線在特定點的曲率 (κ)，提供分步導數計算、密切圓視覺化和曲率半徑。

計算純量場的曲面積分與向量場穿過參數曲面的通量積分。可選球面、圓柱、圓錐、拋物面或環面等預設，或自行輸入，並附法向量與3D視覺化。

計算一組函數的Wronskian行列式，用以檢驗線性獨立性。顯示含導數的完整矩陣、逐步行列式展開過程，並判定這組函數是否構成基本解組。

計算多變數函數的梯度向量。輸入f(x,y)或f(x,y,z)，即可得到每個偏導數、在特定點求出的梯度、其大小與方向，並附2D梯度場視圖。

以梯形法則近似定積分，內含互動梯形視覺化、誤差估計、Richardson外推、收斂分析與逐梯形面積拆解，可接受函數或資料點輸入。

計算數學函數的極限並提供詳細的分步解答。支援單側極限、未定式和洛必達法則。

以尤拉法數值求解任意一階常微分方程，顯示迭代表、繪於斜率場上的尤拉多邊形，以及h、h/2與h/4步長的收斂比較，並可選擇與精確解對照做誤差分析。

計算任何函數在某點周圍的泰勒級數展開，包括逐步導數計算、互動式對比圖和教育性說明。

使用洛必達法則（L'Hôpital's rule）評估不定型（0/0, ∞/∞）的極限，提供逐步微分過程、互動式圖表視覺化以及詳細解釋。

計算收斂無限級數的精確和，包括等比級數、逐項抵消級數、p-級數以及著名的特殊級數。透過動畫部分和視覺化獲取逐步的收斂證明。

以牛頓-拉弗森法求方程式的根。輸入任意函數與初始猜測值,查看逐步迭代過程、切線近似圖、收斂性分析,以及追蹤趨近根的路徑圖。

以隱函數微分與連鎖律逐步設定並求解相關變率問題。涵蓋膨脹的球體、滑動梯子、注水圓錐、漣漪、影長、接近中的車輛與充氣氣球等經典情境。

以極限定義計算任意函數在某點的瞬時變化率。取得含 MathJax 公式的逐步解法、互動切線圖,以及 h 趨近於零時的收斂表。

為微積分學生和專業人士提供不定積分與定積分的計算，包含詳細的分步解答、互動式函數視覺化以及全面的解釋。

以比值、根值、積分、比較、極限比較、交錯級數與p級數等判別法檢驗無窮級數是否收斂，並附逐步解法與動畫呈現的部分和圖形。

計算純量場與向量場沿參數曲線在 2D 與 3D 中的線積分。輸入場、參數方程式與積分界限,取得含逐步解法的符號結果、弧長與曲線視覺化。

以辛普森1/3法則、3/8法則及複合法則近似定積分。內含互動拋物線視覺化、誤差估計、收斂分析、方法比較與逐步解題過程。

計算 F(s) 的逆拉普拉斯轉換以求得 f(t)。獲取逐步解題過程、視覺化圖表，並理解從頻域到時域的轉換。

計算隱函數 F(x,y)=0 的導數，並提供詳細的分步解答。支援多項式、三角函數、指數和對數函數，最高支援 5 階導數。

計算雙重積分並提供詳細的逐步解題步驟與 3D 曲面視覺化。支援包含多項式、三角函數、指數函數和雙曲函數的定積分與不定積分。

計算常見函數在 x=0 處的馬克勞林級數展開。取得 n 階多項式項、拉格朗日餘項估計、收斂半徑,以及部分和逐步收斂至原函數的動畫圖形。

使用左端點、右端點、中點、梯形公式和 Simpson's rule 近似定積分。查看動畫矩形視覺化、逐步解題過程以及收斂分析。

以經典四階Runge-Kutta法數值求解常微分方程。輸入方程式、初始條件與步長，即可看到k1到k4的計算過程、解答表與解曲線。