進階數學計算

將對數底數提升至給定指數，即可反求反對數。MiniWebtool 的反對數計算工具支援底數 10、e、2 或自訂底數，並附上計算步驟與比較結果。

MiniWebtool 的 Beta 函數計算工具會針對正實數輸入計算 B(x, y)。逐步計算會說明 Beta 函數與 Gamma 函數的關係，並可調整精度及查看函數視覺化。

使用 MiniWebtool 的中國剩餘定理計算工具，求解同時成立的模數條件。輸入同餘式即可查看各餘數類如何對應，並取得解答的逐步推導。

MiniWebtool 的中央極限定理計算工具會以常態近似法處理平均數的抽樣分布。母體平均數、標準差、樣本數及界限會決定近似機率與標準誤。

使用 MiniWebtool 的二次公式計算工具，從係數推導二次方程的根。判別式分析會說明根的類型；轉換成頂點式及拋物線圖則呈現方程式相關幾何性質。

MiniWebtool 的二項式係數計算工具會計算「n 選 k」，也就是不考慮順序時的選取方式數量。輸入 n 與 k，即可查看階乘計算及其在帕斯卡三角形中的位置。

使用 MiniWebtool 的二項機率分布計算工具，求出成功次數指定為 k 時的機率。設定試驗次數、固定成功機率及 k，即可查看獨立二項試驗的精確機率與累積機率。

MiniWebtool 的互補誤差函數計算工具會計算 erfc(x)，也就是誤差函數的補函數。選擇小數精度，即可檢視數值、曲線、計算說明及比較用參考值。

使用 MiniWebtool 的 Gamma 函數計算工具，對支援的實數輸入計算 Γ(x)。逐步說明、圖表及階乘比較會呈現 Gamma 函數如何將階乘延伸至非整數；非正整數為極點，函數值不是有限數值。

MiniWebtool 的半衰期計算工具可求解指數衰減問題中的半衰期、起始量、剩餘量或經過時間。工具提供公式步驟與衰減曲線，並可選擇同位素預設，探索固定半衰期模型。

使用 MiniWebtool 的卡諾圖（K-Map）求解器，以視覺方式簡化布林函數。輸入最小項、最大項或真值表數值，即可取得分組儲存格及化簡後的積項和式或和項積式，並查看推導步驟。

使用 MiniWebtool 的原根計算工具，探索整數模數下的乘法循環。若原根存在，工具會找出原根、回報 Euler 函數 φ(n)，並用次方表與循環群圖解釋產生的餘數。

使用 MiniWebtool 的數值取整計算工具，依小數位、有效數字或指定增量取整。透過數線比較六種取整方法及步驟，了解答案為何可能不同。

這些頂點度數能構成簡單無向圖嗎？MiniWebtool 的圖形度數序列驗證工具會套用 Havel–Hakimi 演算法並顯示化簡步驟；若序列可圖化，也會提供範例圖與鄰接矩陣。

為圖形頂點指定顏色，使相鄰頂點顏色不同。MiniWebtool 的圖形著色計算工具可接受邊清單或鄰接清單，回傳著色結果與色數，並在圖形旁呈現 DSATUR 過程。

使用 MiniWebtool 的多項式根計算工具，求解最高四次的多項式方程式。解題步驟與圖表可供檢視一次、二次、三次及四次方程的根，以及根與多項式之間的關係。

合併集合時避免重複計算交集。MiniWebtool 的容斥原理計算工具可接受最多五個集合的元素或交集大小，並顯示帶正負號的展開式、聯集大小及文氏圖區域。

使用 MiniWebtool 的布林代數化簡工具，可透過代數定律、Quine–McCluskey 演算法和卡諾圖化簡布林表示式。輸入任意 AND、OR、NOT、XOR、NAND 或 NOR 表示式，即可取得最簡 SOP／POS 形式、真值表、K 圖、邏輯閘圖及僅用 NAND 閘的等效式。

MiniWebtool 的平方和計算工具會將數列、範圍或自訂資料中的數值平方後加總。查看公式步驟及幾何視圖，了解總和如何組成。

使用 MiniWebtool 的平面圖檢查工具，依 Kuratowski 定理判斷圖形是否為平面圖，也就是能否在不讓邊交叉的情況下繪製。工具會偵測 K5 和 K3,3 細分、驗證 Euler 不等式，並在圖形非平面時標示禁制子式（forbidden minor）。

使用 MiniWebtool 的 Dijkstra 最短路徑計算工具，在非負權重圖中追蹤最短路徑。輸入邊、選擇起始頂點並設定有向或無向模式，即可視覺化檢視演算法執行。

在 MiniWebtool 的拓樸排序計算工具輸入有向圖，即可使用 Kahn 演算法或 DFS 取得拓樸順序；若圖中有環，則會顯示環路徑。

使用 MiniWebtool 的指數成長計算工具，模擬數量以固定比例速率變化的情況。可求出起始值、最終值、速率或時間，並查看成長或衰減解讀及情境曲線。

MiniWebtool 的指數積分計算工具會依所選輸入值與精度計算特殊函數 Ei(x)。逐步說明及互動圖表有助於在數學或物理計算中檢視此函數。

MiniWebtool 的指數衰減計算工具會連結初始量、最終量、衰減率及經過時間。選擇未知量即可求解固定速率衰減情境，並查看公式與下降曲線。

使用 MiniWebtool 的指數計算工具，將底數乘方至指定次數。支援正、負及分數指數，可調整精度並查看指數如何影響運算的說明。

MiniWebtool 的位元運算計算工具會逐個位元顯示整數運算。選擇運算方式與位元寬度，即可檢視 AND、OR、XOR 或位移如何改變二進位表示。

使用 MiniWebtool 的排列計算工具計算排列數 P(n,r)，求出從 n 個項目中選取 r 個項目的排列方式數，其中順序會影響結果。可查看逐步解法、視覺化說明、公式拆解和實用範例。

MiniWebtool 的擴展歐幾里得演算法計算工具會求出 gcd(a, b) 及滿足 sa + tb = gcd(a, b) 的 Bézout 係數。輸入兩個整數即可產生除法表、回代步驟，以及在存在時的模反元素。

MiniWebtool 的 Stirling 數計算工具會計算無符號第一類循環數及第二類集合分割數。輸入 n 與 k，即可查看遞迴關係並探索對應的數字三角形。

使用 MiniWebtool 的旅行推銷員問題（TSP）求解器，找出往返各城市的路線。輸入座標或距離矩陣，可對最多 12 個城市求得精確的 Held–Karp 解，或對最多 40 個城市進行啟發式 2-opt 搜尋。

使用 MiniWebtool 的最小生成樹計算工具，以最低的邊權重總和連接所有頂點。最多可探索 50 個節點與 200 條邊的圖，並透過 Kruskal 或 Prim 演算法查看視覺化步驟。

使用 MiniWebtool 的有效數字計算工具，將數值四捨五入至指定有效位數、逐位分析並計算有效數字個數，並依正確的有效數字規則執行算術運算。

MiniWebtool 的模乘逆元計算工具會尋找符合 ax ≡ 1（mod m）的 x。擴展歐幾里得演算法會說明計算過程，並指出 a 與 m 不互質時為何不存在逆元。

計算大型次方的餘數，不必展開整個數值。MiniWebtool 的模冪計算工具會求出 a^b mod n，並呈現二進位平方乘算法的計算步驟。

使用 MiniWebtool 的機率分布計算工具，選擇機率模型以求機率、累積值或分位數。支援常態、二項、卜瓦松、指數、均勻、卡方及 Student t 等連續與離散分布，並附視覺化說明。

使用 MiniWebtool 的機率計算工具，探索事件之間的關係。輸入所選計算所需的機率，即可配合圖示與公式步驟計算交集、聯集、條件機率或貝氏定理。

使用 MiniWebtool 的歐拉函數計算工具，計算不大於 n 且與 n 互質的正整數數量。質因數分解及互質數格圖會說明所得的 φ(n)。

使用 MiniWebtool 的比例計算工具，求解 a/b = c/d 中缺少的項。交叉相乘步驟與視覺圖示會說明已知數值如何決定剩餘的數值。

MiniWebtool 的卜瓦松分布計算工具會依指定平均率建立事件計數模型，計算選定次數的機率及累積機率，並以 PMF 與 CDF 圖表說明分布。

一條路徑能否恰好造訪每個頂點一次？MiniWebtool 的 Hamilton 路徑檢查工具會搜尋最多 20 個頂點的圖形，找出 Hamilton 路徑或迴路，並在找到時顯示一條見證路徑。困難案例可能超出搜尋時間限制。

MiniWebtool 的熵計算工具會衡量機率分布的不確定性。輸入結果機率與對數底數即可計算 Shannon 熵、查看各項貢獻，並以視覺化呈現機率集中程度對資訊量的影響。

使用 MiniWebtool 的環與體計算工具，進行模環及有限體運算。探索運算、逆元、次方及 Cayley 表，並區分所選代數結構中的單位元與零因子。

MiniWebtool 的百分比成長率計算工具會比較簡單成長、CAGR 及平均成長率算法。起始值、結束值與時間假設會產生計算結果及視覺化，區分單期變動與複利成長。

使用 MiniWebtool 的真值表產生器建立布林真值表。輸入最多含八個變數（A 到 H）的運算式，可使用 AND、OR、XOR、否定及條件運算等邏輯運算子。

MiniWebtool 的科學計算機支援算術、三角、對數、指數及階乘函數。選擇角度或弧度，使用記憶與計算記錄，並透過鍵盤輸入算式。

使用 MiniWebtool 的科學記號計算工具處理極大或極小數值。可換算記數法、進行算術或比較數字，並設定有效位數及查看正規化結果的計算步驟。

MiniWebtool 的穩定婚姻問題求解器會將 Gale–Shapley 演算法套用於兩個人數相等群體的排序偏好。選擇提出配對的一方，查看提案及阻擋配對檢查，了解求得的穩定配對。

使用 MiniWebtool 的立方和計算工具，探索立方和。使用連續範圍或提供數字清單，再查看公式步驟與呈現立方總和的幾何圖示。

MiniWebtool 的組合計算工具會計算從 n 個項目中選 k 個且不考慮順序的方式數量。輸入兩個數值即可查看 C(n, k)、階乘計算及帕斯卡三角形視覺化。

MiniWebtool 的網路最大流計算工具會在具容量的有向網路中，求出從來源到匯點的流量。Edmonds–Karp 增廣路徑、剩餘容量及最終最小割會呈現最大流的求法。

使用 MiniWebtool 的線性規劃求解器以單純形法求解線性規劃問題。支援最大化或最小化目標、混合限制式及最多 8 個決策變數；若問題有兩個變數，還會繪出可行區域並標示最佳解。

使用 MiniWebtool 的群論階數計算工具，探索有限循環群、二面體群與對稱群。工具會計算元素階數、檢查循環與交換性質，並視覺化 Cayley 表及子群關係。

使用 MiniWebtool 的複數計算工具，可對複數進行加、減、乘、除和形式轉換，並計算模數、幅角、共軛、冪次與根。另提供詳細逐步解法和互動式複數平面視覺化。

MiniWebtool 的誤差函數計算工具可計算 erf、erfc 或其反函數。選擇函數與數值，即可依指定精度查看數值結果、曲線，以及其與機率關係的說明。

使用 MiniWebtool 的負二項分布計算工具，計算達到數次成功所需的嘗試次數。固定的單次成功機率會產生機率質量與累積機率，可依總試驗次數或達成目標前的失敗次數計數。

MiniWebtool 的連分數計算工具會將小數、分數或平方根改寫為巢狀整數項。設定項數上限即可探索漸近分數，以及有理數近似值如何逐步接近輸入數值。

MiniWebtool 的正整數總和計算工具會以 Gauss 式求和計算連續正整數範圍。配對圖示會呈現端點如何組合，讓計算更簡潔。

使用 MiniWebtool 的鄰接矩陣計算工具，可在鄰接矩陣、邊清單與鄰接清單之間轉換。工具會自動判斷有向或無向圖，並計算度數序列、密度、連通分量及矩陣冪，另提供可互動的 SVG 圖形視覺化。

使用 MiniWebtool 的可重複排列計算工具，以 n^r 計算可重複排列，也就是可放回抽取的有序排列。輸入項目數和位置數，即可取得結果、解題步驟、吃角子老虎機視覺圖，以及密碼、PIN 碼和車牌範例。

使用 MiniWebtool 的錯排（次階乘）計算工具，計算沒有任何項目留在原始位置的排列數。輸入集合大小 n 即可取得 !n，並查看推導及錯排條件的視覺化說明。

MiniWebtool 的階乘計算工具會計算 n!，也就是從 1 到 n 的正整數乘積，並遵循 0! = 1。輸入非負整數即可檢視結果及其科學記號表示。

MiniWebtool 的集合論計算工具可對輸入集合進行聯集、交集、差集、笛卡兒積及冪集等運算。計算補集時提供全集，並可用文氏圖檢視集合關係。

使用 MiniWebtool 的三集合韋恩圖產生器呈現三個集合之間的關係。輸入元素或各區域數量、自訂標籤與顏色，並將圖表匯出為 PNG 或 SVG。

MiniWebtool 的馬可夫鏈穩態分布計算工具會分析轉移矩陣，求出穩態分布。狀態圖、求解步驟及冪次迭代視覺化，可協助檢視長期機率與收斂情形。

使用 MiniWebtool 的鴿籠原理計算工具，說明為何物品必然會共用容器。物品與容器數量會決定可保證的最低占用數，並以視覺化及逐步論證說明其界限。

使用 MiniWebtool 的黃金比例計算工具，依約 1.618 的黃金比例求出比例長度。從總長或任一線段開始即可找出相應尺寸，並檢視黃金矩形。