進階數學計算

輸入真數與底數，算出反對數（antilog），並顯示逐步過程。可對照不同底數，理解對數還原。

輸入實數 x 與 y，計算 Beta 函數 B(x, y)。結果含逐步計算、與伽瑪函數的關係，以及互動圖形。

輸入多組同餘式 aᵢ（mod mᵢ），以中國剩餘定理解出最小非負 x。結果含擴展歐幾里得演算法步驟、數線視覺化與驗證。

輸入母體平均、標準差、樣本數與區間，以中央極限定理計算樣本平均的機率。結果含 Z 分數、逐步解法與分配圖。

用二次公式解 ax²＋bx＋c＝0，並分析判別式與根的性質。可轉成頂點式，並以互動拋物線圖檢視。

輸入 n 與 k，計算二項式係數 C(n, k)。結果含逐步解法、巴斯卡三角形視覺化與機率應用說明。

輸入試驗次數 n、成功機率 p 與 k，計算二項分配 P(X=k)、P(X≤k) 與 P(X≥k)。結果含 PMF/CDF 圖、逐步解法與完整分配表。

計算互補誤差函數 erfc(x)，並顯示逐步求值過程。附互動圖與 −3 到 3 的 erfc 對照表。

計算伽瑪函數，支援正負實數。附逐步說明、互動圖與階乘對照表。

計算指數衰變的半衰期、初始量、剩餘量或經過時間。附衰變曲線、公式步驟與常見同位素預設。

用卡諾圖化簡布林函數。可輸入最小項、最大項或真值表，得到 SOP／POS 與分組步驟。

輸入正整數模數，找出所有原根、計算歐拉函數，並查看冪次表與循環群圖示。

把數字四捨五入到指定小數位、有效數字或最接近值。可並排比較六種進位方法，並附數線與步驟說明。

用 Havel–Hakimi 演算法判斷度數列能否構成簡單無向圖。附逐步動畫、鄰接矩陣與範例圖。

找出無向圖的著色數與有效頂點著色。輸入邊或鄰接表，可得最少顏色、著色配置與 DSATUR 過程。

求一次到四次多項式方程式的根，並逐步解題。圖形可對照各根位置與重根情形。

輸入最多五個集合的元素或交集大小，查看聯集大小、帶正負號的展開，以及文氏圖的每個區域。

輸入含 AND、OR、NOT、XOR、NAND 或 NOR 的布林式，以代數定律、Quine–McCluskey 與卡諾圖化簡。輸出最簡 SOP/POS、真值表、K 圖、閘電路與純 NAND 等效式。

計算連續平方和（1² + 2² + … + n²）。附逐步公式、互動圖表與幾何示意。

用庫拉托夫斯基定理檢查圖是否為平面圖，也就是能否畫成邊不相交。會偵測 K5 與 K3,3 子分割，並驗證歐拉不等式。

輸入加權圖與起點、終點，取得最短路徑、優先佇列的過程與路徑樹。上限是 50 個節點、200 條邊。

輸入有向圖，用 Kahn 演算法或 DFS 取得拓撲順序；如果圖裡有迴圈，則給出迴圈路徑。

計算指數成長或衰減，並畫出成長曲線。適用人口、投資與科學模型，結果可高精度呈現。

高精度計算指數積分 Ei(x)。附圖形與數學推導步驟。

計算指數衰減，並可求解初始量、最終量、衰減率或時間。附半衰期、衰減常數與曲線圖。

高精度計算次方，支援分數指數與負指數。逐步示範指數法則，並以圖示輔助。

輸入整數，執行 AND、OR、XOR、NOT 與位元位移。結果以互動位元圖顯示每一位的運算過程。

計算排列 P(n, r)，也就是從 n 個項目中取出 r 個且要考慮順序的方法數。逐步公式與範例可對照。

用擴展歐幾里得演算法求兩整數的最大公因數與貝祖係數。附逐步表格、回代過程與模反元素。

計算第一類（排列成循環）與第二類（分割成非空子集）斯特林數。附互動三角形、逐步遞迴推導與完整三角表。

輸入城市座標或距離矩陣，找出每個城市只去一次、再回到起點的路線。12 個城市以內用精確的 Held-Karp，40 個以內用 2-opt。

輸入最多 50 個節點、200 條邊的加權圖，用 Kruskal 或 Prim 演算法求最小生成樹，並顯示視覺化步驟。

計算有效數字個數，並依規則四捨五入。也可用正確的有效數字規則做加減乘除。

用擴展歐幾里得演算法求 a 對模 m 的乘法反元素。附逐步表格與 a·a⁻¹ ≡ 1 (mod m) 驗證。

輸入底數、指數與模數，取得 a^b mod n，以及二進位平方乘的步驟。

計算常態、二項、泊松、指數、均勻、卡方與 t 分配的機率、累積分布函數與分位數。附逐步計算與互動圖表。

輸入事件機率，計算條件機率、交集、聯集與貝氏定理，並附互動文氏圖與步驟。

計算歐拉函數 φ(n)，並逐步做質因數分解。可列出互質整數，適用 RSA 與同餘運算。

解比例式並求出未知項，附交叉相乘的逐步過程。搭配視覺化比例圖，說明兩比相等的關係。

計算卜瓦松分配的 P(X=k) 與累積機率，並繪出機率質量與累積分布。逐步解法可對照公式。

輸入最多 20 個頂點的圖，檢查有沒有漢密爾頓路徑或迴圈。若有，會顯示一條作為證明的路徑。

計算機率分布的香農熵，並逐步套用公式。可分類資訊量，並對照資訊理論意義。

在模環與伽羅瓦有限體中計算加減乘除、反元素與冪次。以 Cayley 表分類單位元、零因子、冪零元與冪等元，並檢視群結構。

用簡單成長、年複合成長率（CAGR）與平均成長率計算百分比成長。可逐年對照，並附逐步計算。

輸入使用字母 A 到 H 的布林運算式，最多八個變數，取得涵蓋 AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR 與條件運算的真值表。

進行三角函數、對數、指數、階乘等科學運算。可切換角度或弧度、使用記憶體與計算紀錄，並支援鍵盤輸入。

把數字換成科學記號，並做加減乘除與大小比較。逐步說明指數運算，並以圖表對照結果。

以 Gale-Shapley 演算法求解穩定婚配問題。貼上兩組人數相等的偏好排序，得出穩定配對，並附逐步求婚過程與阻擋配對驗證。

計算從 n₁³ 到 n₂³ 的連續立方數之和。附逐步公式、立方體示意與數學說明，便於代數、微積分與數論學習。

計算組合數 C(n,k)，並說明公式與逐步過程。附帕斯卡三角形、互動圖表與組合問題解析。

以 Ford-Fulkerson 搭配 Edmonds-Karp，計算容量網路從源點到匯點的最大流。動畫顯示每條增廣路徑、剩餘容量、飽和邊與作為證明的最小割。

用單形法解線性規劃，可最大化或最小化目標，並處理混合限制式。最多八個決策變數；兩個變數時會畫出可行域與最佳解。

計算有限群各元素的階，並判斷是否為交換群或循環群。以凱萊表熱圖與哈斯圖顯示子群格，涵蓋循環、二面體與對稱群。

對複數做加減乘除、極式轉換，並計算模、輻角、共軛、冪與根。附逐步過程與複平面圖。

選擇 erf、erfc 或反函數，輸入 x，精度最多 15 位小數，在高斯曲線上取得數值與步驟。

計算負二項分布下，達到指定成功次數所需試驗或失敗次數的機率。給出 PMF、CDF 與逐步公式。

把小數、分數或平方根轉成連分數，並列出收斂分數。附歐幾里得演算法步驟與互動圖示。

以高斯求和公式計算連續正整數之和。附逐步拆解、配對示意與等差數列說明。

在鄰接矩陣、邊列表與鄰接表之間互轉，並偵測有向或無向圖。會算度序列、密度、連通分量與矩陣冪。

用 n^r 計算可重複排列，也就是允許重複取用的有序排法。適合密碼、PIN 與車牌這類可重複選項。

計算 n 個元素的錯排數（子階乘 !n），也就是沒有任何元素留在原位的排法。附容斥原理步驟、錯排表與機率分析。

計算非負整數的階乘 n!，並逐步展開。大數會以科學記號顯示，也可看位數與成長趨勢。

計算聯集、交集、差集、對稱差、笛卡兒積、冪集與補集。並以互動文氏圖對照運算結果。

為三個集合繪製互動韋恩圖，可輸入元素或區域數值並自訂顏色。能視覺化聯集、交集與差集，並下載 PNG 或 SVG。

由轉移矩陣求出馬可夫鏈的穩態分布。附狀態圖、收斂過程與冪次迭代步驟。

用鴿巢原理計算保證有物品落入同一格的最小數量。逐步證明與實例可對照廣義形式。

輸入總長度、較長線段或較短線段，即可計算黃金比例對應的各段長度與黃金矩形尺寸。