瞬時變化率計算機
使用 MiniWebtool 的瞬時變化率計算工具，依極限定義計算任意函數在某一點的瞬時變化率。可查看 MathJax 公式的逐步解法、互動式切線圖，以及 h 趨近 0 時的收斂表。
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在下方輸入函數與一個點，即可取得該點的瞬時變化率，並看到極限計算步驟、切線與 h 值表格。
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瞬時變化率計算機
瞬時變化率計算機使用極限定義計算任何函數 f(x) 在特定點 x₀ 的導數。輸入如 \(x^2\)、\(\sin(x)\) 或 \(e^x\) 的函數，指定一個 x 值，即可立即獲得導數、切線方程、顯示差商如何隨 h → 0 趨近極限的收斂表，以及具有動畫割線到切線轉換的互動式圖表。
功能概覽
瞬時變化率計算機以極限定義求出函數 f(x) 在選定點 x0 的導數。它會顯示切線方程式、隨 h 趨近於零的收斂表，以及互動式圖形。
| 功能 | 提供內容 | 適用情境 |
|---|---|---|
| 函數輸入 | 以 ^ 表示次方，並可使用 sin、cos、tan、ln、log、exp、sqrt 與 abs 等函數輸入 f(x)。支援 2x 這類省略乘號的寫法。 | 依教科書原樣輸入函數 |
| 求值點 | 以數字輸入 x 值 x0，或使用常數 pi 與 e。 | 求某一特定點的斜率 |
| 中央差分 | 最終答案採用中央差分法，其收斂速度（二階）快於向前或向後差分。 | 了解導數如何被近似 |
| 收斂表 | 列出每個步長 h 的向前、向後與中央差分值，顯示差商如何趨近極限。 | 看出極限定義為何成立 |
| 切線 | 給出切線方程式，並在互動圖形上與函數及該點一同繪出。 | 將導數與曲線斜率連結起來 |
| 動畫 h 趨近於 0 | 播放割線隨 h 縮小逐漸變為切線的動畫。 | 課堂上的導數示範 |
什麼是瞬時變化率？
函數 \(f(x)\) 在點 \(x = a\) 的 瞬時變化率 即為 導數 \(f'(a)\)。它代表該點曲線 切線 的斜率。正式定義為：
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$
與平均變化率（在區間上使用割線）不同，瞬時變化率捕捉單一點上的 精確 變化率。這是微分學背後的核心思想。
關鍵概念
極限定義 — 視覺化
想像曲線上的兩個點：\((a, f(a))\) 和 \((a+h, f(a+h))\)。通過這兩點的直線是 割線，其斜率為：
$$\text{割線斜率} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
當您讓 \(h\) 變得越來越小時，第二個點會向第一個點滑動。割線旋轉並趨近 切線。它所收斂的斜率就是導數 — 即瞬時變化率。此計算機的「動畫展示 h → 0」功能可讓您實時觀察這一過程。
導數的數值方法
| 方法 | 公式 | 精確度 |
|---|---|---|
| 前向差分 (Forward) | \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) | O(h) — 一階 |
| 後向差分 (Backward) | \(\frac{f(a) - f(a-h)}{h}\) | O(h) — 一階 |
| 中心差分 (Central) | \(\frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}\) | O(h²) — 二階 |
本計算機使用 中心差分 法作為最終結果，因為它的收斂速度快得多（二階收斂）。收斂表顯示了所有三種方法，以便您比較它們在每個步長 h 下的精確度。
現實世界應用
| 領域 | 函數 | 導數含義 |
|---|---|---|
| 物理學 | 位置 s(t) | 時間 t 的瞬時速度 |
| 物理學 |