什麼是 Eta-Squared，它與 Omega-Squared 有何不同？

Eta-Squared 測量 ANOVA 中由某個因子解釋的總變異比例。Omega-Squared 是同一數量的較低偏差估計值。Eta-Squared 傾向於高估母體效果，尤其是在小樣本情況下。Cohen 建議這兩個指標的基準為 0.01（小）、0.06（中）和 0.14（大）。

效果量計算機

計算並視覺化效應量，包括Cohen's d、Hedges' g、Glass's delta、eta平方、omega平方與Cohen's f，附動畫分布重疊圖、逐步公式、CLES機率與判讀說明。

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了解研究中的效果量

效果量是量化現象幅度的重要統計量，是對 p 值所提供資訊的補充。雖然 p 值告訴您某個效果在統計上是否顯著，但效果量告訴您該效果有多大。這種區分對於判斷實際意義至關重要 —— 一個統計上顯著但效果量極小的結果在現實世界中可能毫無意義。

📏

Cohen's d

使用合併標準差計算兩組之間的標準化平均值差異

🎯

Hedges' g

偏差修正後的 Cohen's d，適用於小樣本 (n < 20)

Glass's Delta

僅使用對照組標準差進行標準化的平均值差異

η²

Eta-Squared

ANOVA 中由因子解釋的總變異比例

ω²

Omega-Squared

比 η² 偏差更小的變異解釋估計值

Cohen's f

ANOVA 的效果量，衍生自 η²

如何計算 Cohen's d

Cohen's d 測量兩組平均值之間的標準化差異：

$$d = \frac{M_1 - M_2}{SD_{pooled}}$$

其中合併標準差為：

$$SD_{pooled} = \sqrt{\frac{(n_1 - 1) \cdot SD_1^2 + (n_2 - 1) \cdot SD_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}$$

Cohen's d 為 0.5 意味著兩組平均值相差半個標準差。Hedges' g 應用修正因子 $J = 1 - \frac{3}{4 \cdot df - 1}$ 來減少 d 在小樣本中的上行偏差。

使用 CLES 解讀效果量

通用語言效果量 (CLES) 將 Cohen's d 轉換為直觀的機率：從第 1 組中隨機選擇的一個人得分高於從第 2 組中隨機選擇的一個人的機會。其計算公式為：

$$CLES = \Phi\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)$$

其中 $\Phi$ 是標準正態分佈的累積分佈函數 (CDF)。例如，d = 0.5 對應的 CLES 約為 64%，這意味著隨機一位第 1 組成員得分高於第 2 組成員的機率為 64%。

Eta-Squared 與 Omega-Squared

在 ANOVA 中，Eta-Squared (η²) 代表由自變數解釋的總變異比例：

$$\eta^2 = \frac{SS_{between}}{SS_{total}} = \frac{F \times df_{between}}{F \times df_{between} + df_{within}}$$

然而，η² 傾向於高估母體效果。Omega-Squared (ω²) 提供了一個偏差較小的估計值：

$$\omega^2 = \frac{df_{between} \times (F - 1)}{df_{between} \times (F - 1) + N}$$

各效果量指標之間的轉換

從	到	公式
Cohen's d	點二系列相關 r	$r = \frac{d}{\sqrt{d^2 + \frac{(n_1+n_2)^2}{n_1 \cdot n_2}}}$
相關係數 r	Cohen's d	$d = \frac{2r}{\sqrt{1 - r^2}}$
t-檢定 (獨立)	Cohen's d	$d = t \times \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$
t-檢定 (配對)	Cohen's d_z	$d_z = \frac{t}{\sqrt{n}}$
η²	Cohen's f	$f = \sqrt{\frac{\eta^2}{1 - \eta^2}}$

何時使用哪種效果量

場景	推薦指標	原因
兩組等變異	Cohen's d 或 Hedges' g	標準測量方式；當每組 n < 20 時首選 g
變異數不相等	Glass's Delta	僅使用對照組標準差，不受實驗處理影響
配對 / 重複測量	Cohen's d_z	基於差異分數；考慮受試者內相關性
單因子 ANOVA	η² 或 ω²	η² 用於描述性；ω² 用於較無偏差的母體估計
相關性分析	r 和 r²	r 測量強度；r² 給出共同變異的比例
後設分析 (Meta-analysis)	Hedges' g	彙整不同樣本大小時，偏差修正至關重要

常見問題解答

什麼是效果量？

效果量是現象幅度或變數間關係強度的定量測量。與指出效果是否存在的 p 值不同，效果量告訴您效果有多大。它們對於後設分析、功效分析以及評估研究研究中的實際意義至關重要。

什麼是 Cohen's d 以及如何解讀它？

Cohen's d 測量兩個組別平均值之間的標準化差異，計算方式為平均值之差除以合併標準差。Jacob Cohen 建議的基準為 0.2（小）、0.5（中）和 0.8（大），但這些應在您特定研究領域的背景下進行解讀。在某些領域，0.2 的 d 可能代表具有意義的干預效果。

Cohen's d 和 Hedges' g 有什麼區別？

Hedges' g 是 Cohen's d 的偏差修正版本。Cohen's d 會略微高估母體效果量，尤其是在小樣本（每組 n < 20）的情況下。Hedges' g 應用修正因子 J 來減少這種偏差。對於大樣本，兩者的值幾乎相同。

什麼是通用語言效果量 (CLES)？

CLES 將 Cohen's d 表示為一個機率：從一組中隨機選擇的一個人得分高於從另一組中隨機選擇的一個人的機會。69% 的 CLES 意味著隨機一位第 1 組成員得分高於第 2 組成員的機率為 69%。對於非技術受眾來說，這比原始的 d 值要直觀得多。

我應該什麼時候使用 Eta-Squared 而非 Omega-Squared？

Eta-Squared (η²) 常見於報告中，但傾向於高估母體效果量，尤其是在小樣本情況下。Omega-Squared (ω²) 提供了一個偏差較小的估計值，通常推薦用於推論目的。對於特定樣本內的描述性目的，η² 是可以接受的。兩者共享相同的解讀基準：0.01（小）、0.06（中）、0.14（大）。

效果量可以是負數嗎？

是的，具有方向性的效果量（如 Cohen's d 和相關係數 r）可以是負數。負的 Cohen's d 意味著第 2 組的平均值高於第 1 組。負的 r 表示反向關係。正負號表示方向，而絕對值表示強度。基於變異數的測量指標（η²、ω²、r²）則始終為非負數。

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Cohen's d	點二系列相關 r	\(r = \frac{d}{\sqrt{d^2 + \frac{(n_1+n_2)^2}{n_1 \cdot n_2}}}\)
相關係數 r	Cohen's d	\(d = \frac{2r}{\sqrt{1 - r^2}}\)
t-檢定 (獨立)	Cohen's d	\(d = t \times \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}\)
t-檢定 (配對)	Cohen's d_z	\(d_z = \frac{t}{\sqrt{n}}\)
η²	Cohen's f	\(f = \sqrt{\frac{\eta^2}{1 - \eta^2}}\)