正態分布計算機

正態分布計算機用於計算正態（高斯）分布的機率，這是統計學中最重要的一種連續機率分布。輸入均值 (μ) 和標準差 (σ) 即可找出隨機變數低於某個值、高於某個值、介於兩個值之間的機率，或查找特定的分位數。結果包括帶有陰影機率區域的互動式鐘形曲線視覺化、z-score 轉換以及逐步計算分解。

什麼是正態分布？

正態分布，也稱為高斯分布或鐘形曲線，是以其均值 (μ) 為中心的對稱連續機率分布。它完全由兩個參數描述：

• 均值 (μ) — 分布的中心，即鐘形曲線峰值出現的地方。
• 標準差 (σ) — 控制分布的離散程度；較大的 σ 會產生更寬、更平坦的曲線。

許多自然現象 — 身高、考試成績、測量誤差、IQ 分數 — 都近似遵循正態分布。中心極限定理保證了從任何分布中提取的足夠大樣本的均值都會收斂於正態分布，這使其成為推斷統計學的基礎。

正態分布公式

正態分布的機率密度函數 (PDF) 為：

累積分布函數 (CDF) 給出 X 小於或等於 x 的機率：

z-score 將任何正態分布的值轉換為標準正態分布（均值 = 0，標準差 = 1）：

如何使用此計算機

1. 選擇您的計算模式： 選擇左尾 P(X ≤ x)、右尾 P(X ≥ x)、區間 P(a ≤ X ≤ b) 或逆運算（根據機率尋找 x）。
2. 輸入分布參數： 輸入均值 (μ) 和標準差 (σ)。對於標準正態分布，請使用 μ = 0 和 σ = 1。
3. 輸入您的特定數值： 根據模式輸入 x 值、下限/上限或目標機率。
4. 查看結果： 點擊「計算」以查看機率、z-score、帶陰影區域的互動式鐘形曲線以及逐步分解。

了解 PDF、CDF 和逆 CDF

• PDF（機率密度函數）： 給出特定值的相對可能性。它代表給定點鐘形曲線的高度。對於連續分布，PDF 本身不是機率 — 機率來自於在區間上對 PDF 進行積分。
• CDF（累積分布函數）： 給出 P(X ≤ x)，即變數等於或低於給定值的機率。在圖形上，它是 x 左側曲線下的面積。CDF 的範圍從 0 到 1。
• 逆 CDF（分位數函數）： CDF 的反函數 — 給定機率 p，它會找到滿足 P(X ≤ x) = p 的 x 值。例如，標準正態分布在 p = 0.975 時的逆 CDF 給出的 x ≈ 1.96。

68-95-99.7 法則

經驗法則（也稱為三倍標準差原則）為任何正態分布提供了快速的機率估算：

這意味著大約 68% 的值落在均值的一個標準差範圍內，95% 落在兩個標準差範圍內，幾乎所有 (99.7%) 都落在三個標準差範圍內。在正態分布中，超出 3σ 的值極為罕見。

常用 Z-Score 參考表

正態分布的常見應用

• 質量控制： 使用基於 μ ± nσ 的管制圖和規格界限來監控製造過程。
• 假設檢定： 為 z 檢定和信賴區間確定 p-值和臨界值。
• 標準化測驗： SAT、GRE 和 IQ 分數旨在遵循正態分布，以便進行百分位數比較。
• 自然科學： 測量誤差、生物特徵（身高、體重）和許多物理量均呈正態分布。
• 金融： Black-Scholes 模型和風險價值 (VaR) 假設回報呈正態分布，用於期權定價和風險評估。

常見問題解答

什麼是正態分布？

正態分布（也稱為高斯分布或鐘形曲線）是由其均值和標準差定義的對稱連續機率分布。它是統計學中最重要的一種分布，因為許多自然現象近似地遵循它，且中心極限定理保證了無論基礎分布如何，樣本均值都會收斂於它。

什麼是 z-score 以及如何使用它？

z-score 衡量一個數值距離均值有多少個標準差。其計算公式為 z = (x − μ) / σ。z-score 允許您通過將不同正態分布轉換為標準正態分布（均值 = 0，標準差 = 1）來比較它們的數值。1.96 的 z-score 對應於第 97.5 個百分位數。

PDF 和 CDF 有什麼區別？

PDF（機率密度函數）給出特定值的相對可能性，代表該點鐘形曲線的高度。CDF（累積分布函數）給出隨機變數小於或等於特定值的機率，代表該點左側曲線下的面積。CDF 的範圍始終在 0 到 1 之間。

什麼是 68-95-99.7 法則？

68-95-99.7 法則（也稱為經驗法則或三倍標準差原則）指出，對於正態分布，大約 68.27% 的值落在均值的一個標準差範圍內， 95.45% 落在兩個標準差範圍內，99.73% 落在三個標準差範圍內。此法則有助於在不進行詳細計算的情況下快速估算機率。

如何找到兩個數值之間的機率？

要找到正態分布中兩個數值 a 和 b 之間的機率，計算 P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a)。首先使用 z = (x − mean) / standard deviation 將兩個值轉換為 z-score，然後查找或計算每個 z-score 的 CDF 並相減。此計算機在「區間」模式下會自動執行此過程。