線性代數

Solve systems of 2 or 3 linear equations using Cramer's rule. Enter coefficients, get step-by-step determinant calculations with animated matrix visualization, geometric interpretation graph, and the complete solution.

以Gram-Schmidt法將任意矩陣分解為正交矩陣Q與上三角矩陣R。支援2x2到5x5矩陣，附動畫逐步正交化過程，並驗證Q轉置乘以Q等於單位矩陣。

將任意矩陣化簡為簡化列梯形式，並附詳細逐步列運算過程。輸入矩陣即可看到每一次主元選取、交換與消去，並讀出秩、零度、主元行、自由變數與解的類型。

用行列式公式計算兩個3D向量的叉積，提供逐步展開、垂直的結果向量、其長度（等於平行四邊形面積）、方向檢查與3D視覺化呈現。

計算2D、3D或n維向量的大小（歐幾里得範數）。逐步顯示各分量平方、根號下的總和與最終開根號的計算過程，並附向量示意圖。

使用點積公式 cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) 計算兩個 2D 或 3D 向量之間的夾角。獲取分步解法、角度與弧度結果、互動式向量圖表以及幾何解釋。

計算一個向量在另一個向量上的向量投影和純量投影。支援 2D 與 3D 向量，提供逐步公式推導、互動式圖表及正交分解。

免費的線上向量計算機，提供逐步解題過程。計算點積、外積、長度（模）、單位向量、向量夾角、投影等，並包含互動式 3D 視覺化呈現。

計算2D、3D或更高維度兩向量的點積，取得兩者夾角、長度、純量與向量投影、幾何意義，並附逐步公式與互動圖示。

將對稱正定矩陣分解為 A = LLᵀ，並提供動畫逐步計算過程。查看下三角矩陣 L 每個元素的完整推導公式，驗證結果，並以視覺化方式探索矩陣分解。

計算任意2D、3D或n維向量方向上的單位向量。得出向量長度、各分量正規化後的值、方向角、逐步正規化過程，以及結果長度確實為1的視覺證明。

計算任意矩陣的奇異值分解，將A分解為U、Σ與V轉置。提供逐步解題、互動3D視覺化、秩分析、條件數與資料壓縮應用說明。

計算兩個矩陣的張量積（也稱為 Kronecker 積），支援精確的分數運算、逐區塊視覺化、可複製的結果以及 SEO 友好的線性代數說明。

使用格拉姆-施密特程序（Gram-Schmidt process）將一組線性獨立的向量單位正交化。獲取逐步的投影過程、正交基與單位正交基、正交性驗證以及互動式向量視覺化。

計算 2x2 和 3x3 矩陣的特徵值和特徵向量，提供詳細的逐步解題步驟、特徵多項式推導、互動式視覺化以及矩陣屬性分析。

計算方陣的特徵多項式 det(A − λI)。支援 2×2 到 6×6 矩陣，提供逐步的餘因子展開、特徵值提取、係數分析以及互動式多項式視覺化。

計算任何方陣的 LU 分解（含部分列交換）。透過逐步高斯消去法獲取下三角矩陣 (L)、上三角矩陣 (U) 和置換矩陣 (P)，並提供結果驗證。

執行兩個矩陣的相乘，並提供詳細的逐步元素計算過程。查看分解後的每個點積運算，並配合顏色標記的「列 × 行」視覺化呈現。支援最高 5×5 的矩陣，並具備互動式維度控制功能。

計算方陣 A 的任何整數指數 n 次冪。查看每一步乘法的動畫演示、從 A¹ 到 Aⁿ 的中間矩陣、行列式和跡的屬性，並提供 MathJax 公式與互動式視覺化內容。

透過計算特徵值、特徵向量以及分解 A = PDP⁻¹ 來對角化方陣。支援 2×2 到 5×5 矩陣，提供逐步解法、特徵多項式、重數分析和互動式視覺化。

計算矩陣指數 e^(At),並將其作為線性常微分方程系統的狀態轉移矩陣。輸入矩陣 A、時間 t 與可選初始向量,取得 x(t)、Pade 縮放細節與動畫相平面流場圖。

使用高斯消去法（列梯形矩陣）計算任何矩陣的秩。獲取逐步列簡化過程、樞軸分析、列空間與零空間維度以及視覺化熱圖。支援高達 10×10 的矩陣。

計算矩陣運算並提供逐步解題過程：加法、減法、乘法、逆矩陣、轉置與行列式。具備視覺化矩陣顯示與詳細說明。

計算方陣的跡（對角線元素之和），驗證其與特徵值之和的相等性，探索跡的性質，並透過互動式熱圖視覺化對角線。支援高達 10×10 的矩陣。

計算方陣的喬丹標準形及滿足 P⁻¹AP=J 的轉換矩陣 P。透過廣義特徵向量處理有缺陷、不可對角化的矩陣,附核鏈分析與方塊示意圖。

計算任何方陣的行列式，具有詳細的逐步餘子式展開、矩陣屬性分析和視覺化解決方案。

使用列簡化法找出任何矩陣的行空間與基底。逐步查看每個列運算步驟，包含樞紐行高亮、秩、維度，以及 2D/3D 行空間的互動式視覺化。

使用 Gauss-Jordan 消去法計算方陣的逆矩陣，提供詳細的逐步列運算過程。支援 2×2 到 6×6 矩陣，具備精確的分數算術、行列式計算以及 A×A⁻¹=I 驗證功能。

將有理函數分解為部分分式，提供詳細的逐步解法、係數分析以及視覺化的分解結構。

計算向量值多變數函數的雅可比矩陣。輸入轉換分量即可得出每個偏導數、行列式、特徵值、詳細步驟與網格變形視覺化。

透過高斯消去法求解 Ax = 0，找出任何矩陣的零空間（核）。獲取基底向量、零度（Nullity）、逐步的 RREF 化簡過程，以及使用精確分數運算的秩－零度定理驗證。