什麼是接觸三角形 (contact triangle)？

接觸三角形（或稱內觸三角形）是通過連接內切圓與三角形三邊相切的三個切點而形成的。其頂點位於原始三角形的邊上。

如何計算內切圓？

內切圓計算機可以幫助您快速計算三角形的內切圓資訊。

內切圓計算機

計算三角形的內切圓。輸入三邊長或三個頂點座標，即可求出內切圓半徑、內心、切點、切線長度、接觸三角形，並查看帶有逐步公式的互動式圖表。

內切圓計算機

內切圓計算機可求出任何三角形的內切圓。內切圓（Incircle）是指完全位於三角形內部並與三條邊都相切的最大圓。輸入三個邊長或三個頂點座標，即可立即計算內切圓半徑、內心位置、切點、切線長度、接觸三角形、旁切圓半徑等，並提供互動式 SVG 圖表和逐步計算公式。

內切圓的關鍵概念

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內切圓

適合三角形內部的最大圓，與 3 條邊相切

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內心

三條角平分線的交點 —— 始終位於三角形內部

◇

切點

內切圓接觸三角形每條邊的三個點

△

接觸三角形

通過連接三個切點形成的三角形（內觸三角形）

內切圓計算公式

對於一個邊長為 a, b, c 且半周長為 s = (a + b + c) / 2 的三角形：

性質	公式	描述
三角形面積 (海龍公式)	\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)	使用半周長從三邊計算面積
內切圓半徑	\(r = \frac{K}{s}\)	內切圓的半徑
內切圓面積	\(A = \pi r^2\)	內切圓所圍成的面積
內切圓周長	\(C = 2\pi r\)	內切圓的周長
內心座標	\(I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c}\)	以對邊長度為權重的頂點加權平均值
頂點 A 的切線長度	\(t_A = s - a\)	頂點 A 到最近切點的距離
旁切圓半徑	\(r_A = \frac{K}{s-a}\)	頂點 A 對面旁切圓的半徑
歐拉距離	\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)	外心與內心之間的距離

內切圓 vs. 外接圓

內切圓和外接圓是與三角形相關的兩個最基本的圓，但它們具有不同的性質：

內切圓： 位於三角形內部，與三條邊相切。透過角平分線求得。內心始終位於三角形內部。
外接圓： 通過三個頂點，通常較大。透過垂直平分線求得。對於鈍角三角形，外心可能位於外部。
歐拉不等式： 對於任何三角形，\(R \geq 2r\)，僅當為等邊三角形時等號成立。

切線長度與接觸三角形

當內切圓與 BC 邊切於點 D，與 CA 邊切於點 E，與 AB 邊切於點 F 時，從每個頂點出發的切線長度相等：從 A 出發的距離 AF = AE = s − a；從 B 出發為 BF = BD = s − b；從 C 出發為 CD = CE = s − c。連接這些切點形成的三角形 DEF 稱為接觸三角形（或內觸三角形）。接觸三角形具有特殊的性質：其角度與原始三角形的角度關係公式為 ∠D = 90° − A/2。

旁切圓：三個伴隨圓

每個三角形都有三個旁切圓 —— 與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線相切的圓。頂點 A 對面的旁切圓半徑為 r_A = K/(s−a)，B 對面為 r_B = K/(s−b)，C 對面為 r_C = K/(s−c)。一個優雅的等式將這四個圓聯繫在一起：1/r = 1/r_A + 1/r_B + 1/r_C。旁切圓在高級三角形幾何中非常重要，並出現在納格爾點（Nagel point）的構造中。

如何求內切圓

選擇您的輸入方法： 如果您知道邊長 a, b, c，請選擇「三邊長」；如果您有每個頂點的座標，請選擇「三頂點座標」。
輸入數值： 輸入三個邊長或頂點 A, B, C 的 (x, y) 座標。可以點擊快速範例來自動填充樣本數值。
點擊計算： 按下「計算內切圓」按鈕。
查看結果： 查看內切圓半徑 r、內心座標、內切圓面積與周長、切點、切線長度、旁切圓半徑以及 R/r 比值。
探索圖表： 切換內切圓、角平分線、切點、接觸三角形和標籤的疊加層，以視覺化幾何形狀。

實際應用

內切圓有許多實際用途。在製造業中，內切圓半徑決定了可以放入三角形開口中的最大圓形組件（螺栓、鑽頭、管材）。在建築學中，內切圓有助於在三角形平面圖中設計最大的圓形特徵。在計算幾何中，內切圓和旁切圓被用於有限元素分析的網格細化演算法。內切圓半徑還可以用作衡量三角形「肥胖度」的一種標準 —— 相對於外接圓半徑，細長三角形的內切圓半徑較小，這對於模擬中的數值穩定性非常重要。

FAQ

什麼是內切圓 (incircle)？

內切圓是完全位於三角形內部並與三條邊都相切的最大圓。其中心稱為內心（三條角平分線的交點），半徑稱為內切圓半徑。每個非退化三角形都有且只有一個內切圓。

如何找到三角形的內切圓半徑？

內切圓半徑 r 的計算公式為 r = K / s，其中 K 是三角形面積，s 是半周長 s = (a+b+c)/2。首先使用海龍公式計算面積：K = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，然後將面積除以半周長。

三角形的內心在哪裡？

內心是三角形所有三條角平分線匯合的點。與外心不同，無論三角形是銳角、直角還是鈍角，內心始終位於三角形內部。其座標是頂點的加權平均值：I = (a·A + b·B + c·C) / (a+b+c)。

內切圓的切線長度是多少？

切線長度是從每個頂點到內切圓與邊相切的最近兩個切點的距離。從頂點 A 出發，切線長度為 s − a；從 B 出發為 s − b；從 C 出發為 s − c。這些切線長度滿足從同一個外部點到圓的兩條切線段長度相等的性質。

什麼是接觸三角形？

接觸三角形（也稱為內觸三角形）是通過連接內切圓與三角形三邊相切的三個點而形成的。其頂點位於原始三角形邊上的切點處。接觸三角形具有有趣的性質 —— 例如，它的每個角都等於 90° 減去原始三角形對應角的一半。

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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-03

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