逆矩陣計算機

使用 Gauss-Jordan 消去法計算方陣的逆矩陣，提供詳細的逐步列運算過程。支持 2×2 到 6×6 矩陣，具備精確的分數算術、行列式計算以及 A×A⁻¹=I 驗證功能。

逆矩陣計算機

逆矩陣計算機使用 Gauss-Jordan 消去法計算任何方陣的逆矩陣，並逐步顯示每個列運算。輸入 2×2、3×3、4×4、5×5 或 6×6 矩陣，即可獲得精確的分數算術逆矩陣，無捨入誤差。此工具還會計算行列式，並透過確認 A × A⁻¹ = I 來驗證結果。

什麼是逆矩陣？

方陣 $A$ 的逆矩陣（記作 $A^{-1}$）是滿足以下條件的唯一矩陣：

$$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I$$

其中 $I$ 是單位矩陣。只有非奇異矩陣（即行列式不為零的矩陣）才有逆矩陣。

⊞

方陣

只有方陣 (n×n) 才有逆矩陣。長方形矩陣沒有雙邊逆矩陣。

≠

行列式不為零

det(A) ≠ 0 表示 A 是可逆的。如果 det(A) = 0，則矩陣為奇異矩陣且無逆矩陣。

↔

唯一逆矩陣

如果存在逆矩陣，它就是唯一的。左逆矩陣和右逆矩陣是同一個矩陣。

乘積性質

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。乘積的逆矩陣會反轉因子的順序。

如何使用 Gauss-Jordan 消去法求逆矩陣

第 1 步：使用 +/− 按鈕選擇方陣的大小（2×2 到 6×6），或點擊快速範例載入預設矩陣。

第 2 步：在網格中輸入您的矩陣值。您可以輸入整數、小數或分數，例如 1/3 或 -5/2。使用 Tab、Enter 或方向鍵在儲存格之間移動。對角線儲存格會以藍色突顯。

第 3 步：點擊計算逆矩陣。計算機會在您的矩陣旁加上單位矩陣形成增廣矩陣 [A|I]，並應用 Gauss-Jordan 消去法將其轉換為 [I|A⁻¹]。

第 4 步：查看精確分數和小數形式的逆矩陣。使用分頁切換視圖。熱圖視覺化讓您一目了然地看到每個項的大小和正負號。

第 5 步：透過瀏覽每個列運算來查看逐步解題過程，或按下「播放」進行動畫播放。驗證區段確認 A × A⁻¹ = I。

2×2 矩陣逆矩陣公式

對於 2×2 矩陣 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其逆矩陣為：

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

此公式僅在 $ad - bc \neq 0$ 時有效。對於更大的矩陣，Gauss-Jordan 消去法（本計算機使用的方法）是標準做法。

計算逆矩陣的方法

方法	工作原理	最適合
Gauss-Jordan 消去法	將 [A\|I] 列化簡為 [I\|A⁻¹]	通用，任何大小
2×2 公式	$\frac{1}{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$	快速 2×2 計算
伴隨矩陣法	$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$	理論、符號運算
LU 分解	將 A 分解為 LU，解 LUX = I	數值計算、大型矩陣

逆矩陣的性質

性質	公式
對合性	$(A^{-1})^{-1} = A$
轉置	$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
純量倍數	$(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$
乘積	$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
行列式	$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

逆矩陣的應用

📐

求解線性方程組

當 A 可逆時，Ax = b 的解為 x = A⁻¹b。

📊

統計與回歸

OLS 估計量：β = (X'X)⁻¹X'y 需要動差矩陣的逆矩陣。

🔄

電腦圖學

逆變換矩陣用於撤銷旋轉、平移和縮放。

🔐

密碼學

希爾密碼 (Hill cipher) 解密使用加密金鑰矩陣在模 26 下的逆矩陣。

常見問題

什麼是逆矩陣？

方陣 A 的逆矩陣（記作 A⁻¹）是唯一的矩陣，滿足 A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I，其中 I 是單位矩陣。只有行列式不為零的方陣（非奇異矩陣）才具有逆矩陣。

如何使用 Gauss-Jordan 消去法求逆矩陣？

透過將單位矩陣放在 A 的旁邊來形成增廣矩陣 [A|I]。然後應用列運算將左側化簡為單位矩陣。右側則會自動變成 A⁻¹。這是因為每個列運算都相當於左乘一個初等矩陣。

矩陣什麼時候沒有逆矩陣？

當矩陣的行列式等於零時，該矩陣是奇異的（不可逆）。這發生在列或行線性相關時，意味著其中一列可以寫成其他列的組合。在 Gauss-Jordan 消去過程中，這會表現為零主元。

行列式與逆矩陣之間的關係是什麼？

一個矩陣有逆矩陣的充分必要條件是其行列式不為零。對於 2×2 矩陣 [[a,b],[c,d]]，逆矩陣為 (1/det) × [[d,-b],[-c,a]]，其中 det = ad - bc。對於更大的矩陣，伴隨矩陣公式給出 A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)。

非方陣可以有逆矩陣嗎？

非方陣沒有真正的雙邊逆矩陣。然而，它們可能有左逆矩陣（如果具有滿行秩）或右逆矩陣（如果具有滿列秩）。Moore-Penrose 偽逆將此概念推廣到所有矩陣。

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由 MiniWebtool 團隊製作。更新時間：2026-04-09

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