旋轉體體積計算機

使用圓盤法、墊圈法和圓柱殼法計算旋轉體的體積。輸入您的函數、邊界和旋轉軸，即可獲得帶有互動式 3D 視覺化效果的逐步解題過程。

旋轉體體積計算機

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旋轉體體積計算機

旋轉體體積計算機用於計算由二維區域繞軸旋轉而形成的三維實體體積。這是積分學最重要的應用之一，廣泛應用於工程、物理和製造業，用於確定具有旋轉對稱性物體的體積——從引擎氣缸到衛星天線。

三種計算方法

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圓盤法 (Disk Method)

將無限薄的圓盤垂直於旋轉軸堆疊。最適合繞 x 軸旋轉的單一曲線：\( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \)

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墊圈法 (Washer Method)

類似於圓盤法，但中間有孔。適用於兩條曲線之間的區域：\( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \)

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剝殼法 (Shell Method)

將圓柱殼包圍在旋轉軸周圍。繞 y 軸旋轉的理想選擇：\( V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \)

如何使用旋轉體體積計算機

選擇方法 — 根據您的問題設置選擇圓盤法、墊圈法或剝殼法。
輸入函數 — 使用標準數學符號輸入您的函數 f(x)（例如：x^2, sqrt(x), sin(x)）。若是墊圈法，還需輸入內層函數 g(x)。
設置範圍 — 輸入積分的下限 (a) 和上限 (b)。
選擇旋轉軸 — 從 x 軸、y 軸中選擇，或輸入自定義軸數值。
點擊「計算體積」 — 查看結果，包含逐步 MathJax 公式、交互式 3D 視覺化以及三種方法的比較。

何時使用各個方法

情境	最佳方法	原因
單一曲線繞 x 軸旋轉	圓盤法	最簡單的設置——只需要 f(x)
兩條曲線之間的區域繞 x 軸旋轉	墊圈法	能自然處理外半徑和內半徑
曲線繞 y 軸旋轉	剝殼法	避免將 f(x) 反轉以將 x 表示為 y 的函數
函數難以求反函數	剝殼法	無需根據 y 解出 x
旋轉軸為水平線	圓盤法/墊圈法	圓盤垂直於水平軸
旋轉軸為垂直線	剝殼法	剝殼自然地圍繞垂直軸

常見範例

形狀	函數	範圍	體積
圓錐體	f(x) = x	[0, r]	\( \frac{1}{3}\pi r^3 \)
球體	f(x) = √(r² − x²)	[−r, r]	\( \frac{4}{3}\pi r^3 \)
拋物面	f(x) = √x	[0, h]	\( \frac{1}{2}\pi h^2 \)
圓環 (Torus)	偏移軸的墊圈法	圓形	\( 2\pi^2 R r^2 \)

支持的函數

此計算機接受廣泛的數學表達式：

多項式： x^2, x^3 + 2x, 3x^2 - x + 1
三角函數： sin(x), cos(x), tan(x)
反三角函數： asin(x), acos(x), atan(x)
指數/對數： exp(x), ln(x), log(x)
方根： sqrt(x)
常數： pi, e
組合： x^2 * sin(x), sqrt(x) + 1

常見問題

什麼是旋轉體體積？

旋轉體體積（或旋轉固體）是將 2D 曲線或區域繞軸旋轉而產生的 3D 物體的體積。它是使用微積分中的圓盤法、墊圈法或剝殼法計算出來的。現實生活中的常見範例包括瓶子、碗、花瓶和引擎活塞。

何時該使用圓盤法 vs 剝殼法？

當旋轉軸垂直於積分變量時（通常是繞 x 軸旋轉且為 x 的函數），使用圓盤法。當旋轉軸平行於積分變量時（通常是繞 y 軸旋轉且為 x 的函數），使用剝殼法。當函數難以反轉時，剝殼法通常較容易。

什麼是墊圈法？

墊圈法是圓盤法對於由兩條曲線圍成區域的擴展。它使用公式 \( V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx \) 從外層固體體積中減去內層固體體積，其中 R(x) 是外半徑，r(x) 是內半徑。

我該如何選擇旋轉軸？

最常見的軸是 x 軸 (y = 0) 和 y 軸 (x = 0)。您也可以繞任何水平線 y = k 或垂直線 x = k 旋轉。軸的選擇會影響哪種方法最方便，並會改變積分中的半徑表達式。

此計算機支持哪些函數？

此計算機支持多項式 (x^2, x^3)、三角函數 (sin, cos, tan)、指數和對數函數 (exp, ln, log)、平方根 (sqrt) 以及標準算術運算符的組合。請使用 x 作為變量。

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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-04

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