什麼是多元函數的梯度？

多元函數 f 的梯度是其所有偏導數組成的向量。對於 f(x,y)，梯度為 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。它指向函數增加最快的方向，其大小（模長）給出了最陡上升率。

如何計算梯度向量？

要計算梯度，需分別對每個變數求函數的偏導數（將其他變數視為常數），然後將它們組合成一個向量。例如對於 f(x,y) = x^2 + xy，梯度為 (2x + y, x)。

梯度在幾何上代表什麼？

梯度指向函數最大增量的方向。其模長等於該最大增量的變化率。梯度始終垂直於函數的水平曲線（等高線）。

梯度在機器學習中科有什麼用途？

在機器學習中，梯度下降法利用梯度來最小化損失函數。演算法沿著梯度的反方向（最陡下降）移動，以找到使誤差最小化的參數值。隨機梯度下降 (SGD) 是訓練神經網路的核心優化技術。

當梯度為零時會發生什麼？

當梯度等於零向量時，該點被稱為臨界點（駐點）。臨界點可以是局部最大值、局部最小值或鞍點。二階導數檢驗（Hessian 矩陣）用於分類它是哪種類型的臨界點。

梯度計算機多變量

從多變數算式找出函數增加最快的方向。MiniWebtool 的多變數梯度計算工具會計算符號偏導數及梯度向量，也可選擇代入指定點；二變數函數另會繪製梯度場。

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梯度指向上坡方向，並與等高線垂直

在下方輸入 f(x, y) 或 f(x, y, z) 與一個點，即可取得梯度向量、其大小與方向，以及梯度場。

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梯度計算機多變量

「梯度計算機（多元函數）」可以計算任何多元函數的梯度向量 ∇f。輸入如 $x^2 + y^2$、$\sin(x)\cos(y)$ 或 $xyz$ 的函數，指定您的變數，並可選擇在特定點進行評估。獲取所有偏導數的符號表達式、梯度向量、其模長與單位方向、MathJax 逐步解法，對於二元函數，還提供帶有等高線的互動式梯度向量場。

功能概覽

梯度計算機多變量由函數的符號偏導數，計算兩個或多個變數函數的梯度向量。它可以在某一點求值，並為二變數函數繪製梯度場。

梯度計算機多變量：功能一覽
功能	提供內容	適用情境
函數輸入	輸入 x^2 + y^2 或 sin(x)cos(y) 等函數。指數用 ^，乘法用 *，並可使用 sin、cos、exp、ln 與 sqrt 等函數。也支援 2x 這類隱含乘法。	輸入教科書式的算式而不需特殊語法
具名變數	以逗號分隔列出變數，例如 x, y 或 x, y, z。工具會為每個變數求出一個偏導數。	二、三或更多變數的函數
求值點	可選填座標，例如 1, 2（允許 pi 與 e 等常數），即可得到該點的梯度值、大小與單位方向。	求出某點上最陡上升的方向與變化率
逐步解答	以符號形式顯示每個偏導數、梯度向量，以及以 MathJax 排版的完整解答。	逐行檢查微積分作業
梯度場圖	對於二變數函數，在等高線上繪出表示梯度方向與大小的箭頭，並標示求值點。	了解梯度與等高線的關係
範例函數	六個一鍵範例，包括 x² + y²、x²y + xy²、e^(−x²−y²) 與 xy + yz + xz。	在輸入自己的函數前先試用此工具

什麼是梯度？

標量值多元函數 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 的梯度是其所有一階偏導數組成的向量：

$$\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right\rangle$$

梯度是多元微積分、最優化、物理學和機器學習中最重要的概念之一。它將單變數導數推廣到了高維空間。

梯度的主要特性

⬆

最陡上升方向

∇f 指向 f 增加最快的方向。

最大變化率

‖∇f‖ 給出了該點的最大增加率。

⊥

垂直於水平曲線

∇f 始終與 f 的等高線（水平集）正交。

臨界點

當 ∇f = 0 時，您處於

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由 miniwebtool 團隊編寫。更新日期：2026-04-07

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