極座標方程繪圖器
互動式繪製極座標方程 — 繪製 r = sin(3θ)、r = θ（阿基米德螺線）、心臟線、蚶線、雙鈕線與蝴蝶曲線，並具備可調式 θ 範圍、抽樣解析度、色彩調色盤與極座標網格。在同一畫布上疊加最多三個方程，並將圖表匯出為清晰的 SVG 或 PNG。
\( x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta \)
上方的圖表是透過在 θ ∈ [0 到 2π] 範圍內，對每個方程採樣 1800 個均勻間隔的 θ 值，然後每條曲線繪製一條連續的 SVG 路徑算繪而成。
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極座標方程繪圖器
極座標方程繪圖器可以直接在您的瀏覽器中繪製任何形如 \( r = f(\theta) \) 的運算式圖形。使用它來繪製經典的玫瑰線 \( r = \sin(3\theta) \)、心形的心臟線 \( r = 1 + \cos\theta \)、阿基米德螺旋線與費馬螺旋線、帶有內環的蚶線、雙紐線，甚至是著名的蝴蝶曲線。輸入您自己的運算式，完全支援 sin, cos, tan, exp, log, sqrt 以及常數 \( \pi \) 和 \( e \)，或點擊九種預設之一以立即繪圖。在同一個畫布上最多可重疊三個方程，並隨著您的輸入即時觀看預覽畫面的重新繪製，然後將圖表匯出為清晰的 SVG 或 PNG。
極座標如何運作
平面上的每個點都有兩種等效的標記方式。笛卡爾（直角）座標 \( (x, y) \) 代表「向右走這麼遠，向上走那麼高」。極座標 \( (r, \theta) \) 則代表「從原點向外走這麼遠，且與正 x 軸夾這個角度」。兩者透過以下公式建立關聯：
\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \]
A 極座標方程 \( r = f(\theta) \) 將半徑宣告為角度的函數。此繪圖器會在選定的範圍內掃描 θ，在每個步驟中計算 \( f \) 的值，將得到的 \( (r, \theta) \) 轉換為 \( (x, y) \)，並用單條 SVG 路徑將這些點連接起來。上方的動態圓點正是呈現了這個過程 — 紫色的半徑隨著 θ 旋轉，而位於距離 r 處的粉紅色圓點則留下了軌跡。
著名極座標曲線圖廊
此極座標方程繪圖器有何不同之處
2cos(3t)、theta^2、1 + 2cos(θ)。隱式乘法、脫字號次方以及 Unicode 的 θ/π 都會自動轉換 — 不需要語法速查表。
運算式語法 — 快速參考
| 您輸入的內容 | 代表意義 | 範例 |
|---|---|---|
theta 或 t 或 θ | 極角（以弧度為單位） | r = theta |
pi 或 π | 常數 π ≈ 3.14159 | r = sin(theta + pi/4) |
e | 歐拉數 ≈ 2.71828 | r = exp(theta/5) |
sin, cos, tan | 三角函數（弧度） | r = sin(3*theta) |
asin, acos, atan, atan2 | 反三角函數 | r = atan(theta) |
exp, log, log2, log10 | 指數與對數 | r = log(theta + 1) |
sqrt, abs, floor, ceil | 開根號、絕對值與取整 | r = sqrt(abs(cos(2*theta))) |
^ 或 ** | 次方（乘冪） | r = theta^2 |
隱式 * | 數字與字母相連時自動插入 × | 2cos(3t) → 2*cos(3*t) |
計算玫瑰線的花瓣數量
對於整數 \( k \) 的玫瑰線 \( r = \sin(k\theta) \)（或 \( r = \cos(k\theta) \)），花瓣數遵循一個美麗的規律：
- 如果 \( k \) 是奇數：玫瑰線恰好有 \( k \) 個花瓣。
- 如果 \( k \) 是偶數：玫瑰線有 \( 2k \) 個花瓣。
因此 \( \sin(3\theta) \) 產生 3 個花瓣，\( \sin(4\theta) \) 產生 8 個花瓣，而 \( \sin(7\theta) \) 產生 7 個花瓣。原因非常微妙：當 k 為奇數時，為負 r 繪製的花瓣（會反射穿過原點）恰好落在與正 r 花瓣相同的位置上。當 k 為偶數時，負 r 的花瓣會填補正 r 花瓣之間的空隙，從而使數量翻倍。您可以試著對比 \( \sin(2\theta) \)（4 個花瓣）與 \( \sin(3\theta) \)（3 個花瓣），即時觀察對稱性的差異。
從心臟線到蚶線：單參數家族
一般方程 \( r = a + b\cos\theta \) 描繪出一個受比值 \( b/a \) 控制的曲線家族：
- \( b/a = 0 \): 半徑為 \( a \) 的圓形 — 無不對稱性。
- \( 0 < b/a < 1 \): 微凹蚶線 — 稍微壓扁的卵形。
- \( b/a = 1 \): 心臟線 — 具有單個尖點的完美心形。
- \( 1 < b/a < 2 \): 具有更深凹陷的微凹蚶線。
- \( b/a \geq 2 \): 帶有內環的蚶線 — 曲線自身相交。
嘗試在三個重疊插槽中分別繪製 b = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 的 \( r = 1 + b\cos\theta \)，觀看這顆心形如何演變成帶有內環的蚶線。
實際應用
- 數學課堂：動態繪製呈現與即時預覽使極座標方程更具具體感 — 學生能漏親眼看到旋轉的半徑如何描繪出曲線。
- 物理實驗室：天線輻射場型、植物葉序、行星軌道和擺錘軌跡都存在於極座標中。
- 工程領域：凸輪輪廓、齒輪輪齒和樑的應力分布皆是以極座標形式設計。可匯出 SVG 用於雷射切割或 CNC。
- 設計與裝飾：玫瑰線、雙紐線和蝴蝶曲線可製作成令人驚艷的標誌、曼陀羅和重複圖案。匯出為向量圖可進行進一步編輯。
- 生成藝術：以霓虹調色盤重疊三個不同 k 值的玫瑰線，即可瞬間製成幾何海報。
- 天文學：極座標形式的圓錐曲線（橢圓/拋物線/雙曲線的 \( r = p / (1 - e\cos\theta) \)）可用於描述行星軌道 — 試著用 0.1 到 0.9 的離心率值來體驗看看。
繪製精美圖形的提示
- 選擇正確的 θ 範圍。玫瑰線和心臟線在 0 到 2π 時閉合。帶有內環的蚶線可能需要 0 到 4π。阿基米德螺旋線在 0 到 8π 或更長時看起來最美。使用下拉選單 — 它會為您處理好 π 的倍數。
- 使用重疊功能進行「對比」。同時繪製 \( \sin(2\theta) \) 和 \( \sin(3\theta) \)，以觀察偶數與奇數花瓣的規律。繪製 \( 1 + \cos\theta \) 與 \( 1 + 1.5\cos\theta \)，以觀看心臟線如何變成微凹蚶線。
- 調高螺旋線的解析度。預設的「中」（1,800 個採樣點）對玫瑰線已綽綽有餘。對於長阿基米德螺旋線或蝴蝶曲線，請切換到「高」或「超高」— 額外的採樣點能展現螺旋邊緣的細緻細節。
- 雙紐線需要兩個分支。因為方程 \( r^2 = 4\cos 2\theta \) 有兩個平方根，請在方程 1 中繪製 \( \sqrt{4\cos(2\theta)} \)，並在方程 2 中繪製 \( -\sqrt{4\cos(2\theta)} \)，以便獲得完整的兩個葉瓣。
- 隱藏網格以創作用於作品集的藝術圖。將網格切換為「無」，並在石墨色背景上搭配「霓虹」調色盤 — 呈現出的效果感覺就像是一幅生成藝術印刷品。
常見問題
什麼是極座標方程？
極座標方程將曲線定義為離原點的距離 r 與角度 θ（從正 x 軸逆時針測量）之間的關係。範例：r = sin(3θ) 描繪出一條三葉玫瑰線；r = 1 + cos(θ) 繪製出心形的心臟線；r = θ 向外螺旋形成阿基米德螺旋線。每個點 (r, θ) 都可以透過 x = r cos θ, y = r sin θ 映射到笛卡爾座標。
我可以在運算式中使用哪些函數？
您可以使用 sin, cos, tan, asin, acos, atan, atan2, sinh, cosh, tanh, exp, log, log2, log10, sqrt, abs, floor, ceil, pow, min 和 max — 所有標準數學函數。還可以使用常數 pi, e 和 tau，以及變數 theta（您也可以將 t 寫成簡寫，且 Unicode 的 θ 符號會自動進行轉換）。所有三角函數皆以弧度為單位。
如何書寫隱式乘法？
解析器會自動處理 it：2cos(3t)、3theta、2.5pi 都能如預期運作 — 無需在數字與字母或括號之間輸入 *。您也可以使用脫字號 ^ 表示次方，因此 theta^2 與 theta**2 相同。這讓您可以直接從教科書中複製方程而無需重新改寫。
r = sin(kθ) 的花瓣數量是多少？
對於整數 k 的 r = sin(kθ) 或 r = cos(kθ)：如果 k 是奇數，玫瑰線恰好有 k 個花瓣；如果 k 是偶數，則有 2k 個花瓣。因此 sin(3θ) 產生 3 個花瓣，sin(4θ) 產生 8 個花瓣，而 sin(7θ) 產生 7 個花瓣。這是因為負的 r 會反射穿過原點 — 奇數 k 會重新描繪相同的花瓣，而偶數 k 則會在空隙之間繪製新的花瓣。
為什麼我的螺旋線看起來被截斷了？
阿基米德螺旋線和其他無界螺旋線會隨著 θ 的增加而持續增長。預設的 0 到 2π 僅捕捉了一圈。若要繪製多圈螺旋線，請從 θ 範圍下拉選單中選擇 0 到 8π 或 0 到 20π — 這可以給螺旋線足夠的空間來纏繞數圈。圖表會自動縮放，使整條曲線都能完整容納於畫布中。
我可以重疊多個方程嗎？
可以。在選填的輸入欄位中輸入第二或第三個方程。所有曲線都會在相同的軸上繪製，並使用當前調色盤中不同的顏色。這非常適合比較 sin(3θ) 和 cos(3θ)、繪製雙紐線的兩個部分，或者在心臟線內部重疊一條玫瑰線以觀察它們如何相互作用。
如果我的方程產生負的 r 會怎樣？
在極座標中，負的 r 在數學上是有效的 — 它會將點反射穿過原點。因此當 θ = 0 時的 r = -1，與當 θ = π 時的點 r = 1 相同。此繪圖器能正確處理此情況，這也是為什麼像 r = 1 + 2cos(θ) 這樣的蚶線會在 r 變為負值時繪製出一個內環。
我該如何匯出圖表？
有三種選擇。下載 SVG 會提供一個在任何尺寸下都能保持清晰的向量檔案 — 非常適合用於簡報、海報、雷射切割和刺繡。下載 PNG 會算繪高達 1800×1800 像素的高解析度點陣圖，適合社群媒體或縮圖。複製代碼會將原始 SVG 標記放到您的剪貼簿中，以便嵌入網頁或在聊天中傳送。
為什麼即時預覽看起來與最終結果略有不同？
即時預覽使用 800 個採樣點，以在您輸入時保持快速反應。最終結果則使用 600 到 9,000 個採樣點，具體取決於「解析度」下拉選單。兩者在數學上是等效的 — 較高的採樣點數量只會產生更平滑的線條，特別是在密集的玫瑰線和蝴蝶螺旋線等緊湊的曲線。
這個極座標方程繪圖器是免費的嗎？
是的。極座標方程繪圖器是免費的，在提交表單後完全在您的瀏覽器中執行，不需要註冊，且絕不會在匯出的圖表上加上浮水印。您可以無限制地將這些圖表用於作業、論文、簡報和商業專案中。
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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026-05-21
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