克卜勒第三定律計算機

克卜勒第三定律計算機只需兩個數值就能尋找任何繞行天體的軌道週期——無論是行星、衛星、人造衛星，還是圍繞黑洞公轉的恆星：軌道的半長軸和中心天體的質量。它採用牛頓推廣形式的克卜勒第三定律，並顯示每個計算步驟、動態軌道示意圖，以及與實際太陽系軌道的對比。

什麼是克卜勒第三定律？

在 1619 年，約翰內斯·克卜勒發現行星軌道週期的平方與其到太陽的軌道距離的立方成正比。艾薩克·牛頓後來從他的萬有引力定律中推導出了這個定律，使其變得精確且通用，並將比例常數替換為中心天體的質量。這個結果適用於宇宙中任何處於引力束縛軌道上的天體。

克卜勒第三定律公式

本計算機使用的牛頓形式公式為：

其中 T 是軌道週期，a 是半長軸（平均軌道半徑），M 是中心天體的質量，G 是萬有引力常數，\( 6.674 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2} \)。請注意，軌道天體本身的質量和軌道的離心率並不會出現在公式中。

簡化版的太陽系公式

當中心天體是太陽時，如果您以年為單位量度週期、以天文單位（AU）量度距離，這些常數就會坍縮成一個極其簡單的關係：

因此，地球（a = 1 AU）的 T = 1 年，火星（a = 1.52 AU）的 T ≈ 1.88 年，而木星（a = 5.20 AU）的 T ≈ 11.86 年。只要您將中心質量設定為一個太陽質量，本計算機就會自動報告這個捷徑結果。

行星的軌道週期

為什麼週期會忽略離心率

克卜勒第三定律最令人驚訝的結果之一，是兩個具有相同半長軸的軌道具有相同的週期，無論它們的形狀有多麼不同。只要它們的半長軸一致，一個接近圓形的軌道和一個狹長的、雪茄形的橢圓軌道完成一圈所需的總時間是完全一樣的。離心率只會改變天體在哪些位置加速和減速（克卜勒第二定律），但不會改變總軌道時間。

哪些因素會影響軌道週期？

如何使用此計算機

1. 輸入半長軸：輸入軌道的半長軸並選擇單位—AU、百萬公里、公里、公尺或太陽半徑。
2. 輸入中心天體質量：輸入被繞行天體的質量並選擇單位—太陽質量、地球質量、木星質量或公斤。
3. 點擊計算：工具將應用 \( T = 2\pi\sqrt{a^3 / GM} \) 並立即返回週期。
4. 查看結果：查看每個單位下的週期、平均軌道速度、動態軌道，以及您的軌道與從國際太空站（ISS）到海王星等實際軌道的對比。

計算範例：地球圍繞太陽

假設半長軸為 1 AU（\( 1.496 \times 10^{11} \) m），中心天體質量為一個太陽質量（\( 1.989 \times 10^{30} \) kg），公式得出 \( T = 2\pi\sqrt{a^3/GM} \approx 3.156 \times 10^{7} \) 秒，即 365.25 天——正如預期，正好是一年。

常見問題

什麼是克卜勒第三定律？

克卜勒第三定律指出，天體軌道週期的平方與其軌道半長軸的立方成正比。牛頓將其推廣為 T = 2π√(a³ / GM)，其中 a 是半長軸，M 是中心天體的質量，G 是萬有引力常數。這讓您可以計算任何行星、衛星、人造衛星或恆星的週期。

此計算機需要哪些輸入資料？

只需要兩個：軌道的半長軸和它所繞行的中心天體的質量。週期並不取決於軌道天體本身的質量或軌道的離心率，因此不需要這些數值。

為什麼軌道週期與離心率無關？

克卜勒第三定律使用的是半長軸，它是最近和最遠軌道距離的平均值。兩個具有相同半長軸的軌道，即使一個接近圓形，另一個是狹長的橢圓，其軌道週期也完全相同。離心率會改變不同位置的形狀和速度，但不會改變繞行一圈的總時間。

我可以使用哪些單位？

半長軸可以使用天文單位（AU）、百萬公里、公里、公尺或太陽半徑。中心天體質量可以使用太陽質量、地球質量、木星質量或公斤。計算機內部會將所有數值轉換為國際標準單位（SI），並以秒、分鐘、小時、天和年來報告週期。

什麼是簡化版的太陽系公式？

當中心天體是太陽（一個太陽質量）時，克卜勒第三定律簡化為 T²（年）= a³（AU）。因此，以年為單位的週期就是以 AU 為單位的半長軸的 1.5 次方。對於地球，a = 1 AU 得到 T = 1 year；對於木星，a = 5.2 AU 得到約 11.9 年。

我可以用它來計算人造衛星和月球嗎？

可以。將中心天體質量設定為地球（或其他行星），並輸入軌道半徑作為半長軸。對於接近 6,791 公里的低地球軌道，計算機返回的週期大約為 93 分鐘，這與國際太空站的實際軌道週期相符。

其他資源

• 克卜勒行星運動定律 - 維基百科
• 軌道週期 - 維基百科