定義域與值域計算機
在 MiniWebtool 的函數定義域與值域計算工具輸入函數，例如 1/(x-2)、sqrt(x-3) 或 |x-2|，即可用區間表示法求出定義域和值域，並查看解題步驟和圖形。也可每行貼上一個函數，一次完成整份習題。
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在下方輸入一個函數，或每行一個輸入多個函數，即可得到區間記號的定義域和值域，並顯示步驟和圖形。
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定義域與值域計算機
歡迎使用我們的定義域與值域計算機，這是一個免費的在線工具，可幫助您查找代數函數的定義域與值域。無論您是學習函數的學生、準備考試，還是正在創建範例的老師，本計算機都能提供清晰的區間符號結果和逐步分析。
功能概覽
定義域與值域計算機會求出代數函數的定義域與值域，以區間記號表示，並附上步驟與圖形。每次最多可貼上 8 個函數，每行一個，一次執行即可完成。
| 功能 | 提供內容 | 適用情境 |
|---|---|---|
| 函數類型 | 多項式、有理、根式、對數、三角與指數函數，包括 |x| 與實數立方根。 | 代數與預備微積分作業 |
| 區間記號 | 定義域與值域以小括號、中括號與聯集符號表示，例如 (-inf, 2) U (2, +inf)。 | 與課堂上使用的答案格式一致 |
| 多個函數 | 最多可貼上 8 個函數，每行一個，會產生包含所有定義域與值域的表格，並附上複製答案按鈕。 | 一次檢查整份習題 |
| 輸入格式 | 只輸入右側運算式，例如 sqrt(x-3)，或完整方程式，例如 y = x^2 + 2x - 3 或 f(x) = 1/(x-2)。 | 依題目原樣貼上 |
| 步驟與圖形 | 每個函數都附有逐步解答，以及標出定義域與值域的圖形。 | 看出為何某些值被排除 |
| 估計範圍 | 對於 sin(x)/x 等少數函數，值域是從圖形讀出的，會標示為估計值，並以 4 位有效數字四捨五入。 | 分辨哪些值域是精確的、哪些是估計的 |
什麼是函數的定義域？
函數的定義域是函數產生有效輸出的所有可能的輸入值（通常是 x 值）的集合。換句話說，它代表您可以代入函數而不會導致數學錯誤的所有 x 值。
限制定義域的常見限制條件包括：
- 除以零： 分數的分母不能等於零
- 負數的平方根： 在實數中，偶次根要求被開方數非負
- 對數： 對數的真數必須為正
- 反三角函數： 具有特定的輸入限制
什麼是函數的值域？
函數的值域是函數可以產生的所有可能的輸出值（通常是 y 值）的集合。它代表當 x 在定義域上變化時，f(x) 實際可以達到的所有值。
查找值域通常需要分析：
- 最大值和最小值： 最大和最小的輸出是什麼？
- 漸近行為： 當 x 趨近於無窮大或某些特定值時會發生什麼？
- 函數變換： 平移和伸縮如何影響輸出
常見函數類型及其定義域/值域
| 函數類型 | 一般形式 | 定義域 | 值域 |
|---|---|---|---|
| 線性函數 | $f(x) = mx + b$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| 二次函數 | $f(x) = ax^2 + bx + c$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[k, +\infty)$ 或 $(-\infty, k]$ |
| 平方根函數 | $f(x) = \sqrt{x}$ | $[0, +\infty)$ | $[0, +\infty)$ |
| 有理函數 | $f(x) = \frac{1}{x}$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ |
| 對數函數 | $f(x) = \log(x)$ | $(0, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| 指數函數 | $f(x) = e^x$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(0, +\infty)$ |
| 正弦函數 | $f(x) = \sin(x)$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[-1, 1]$ |
如何查找定義域 - 逐步說明
步驟 1：識別潛在限制
尋找有輸入限制的運算：
- 分數 - 分母不能等於零
- 偶次根（平方根、四次方根等） - 被開方數必須非負
- 對數 - 真數必須為正
步驟 2：求解受限值
對於識別出的每個限制，解方程或不等式以找到被排除的值。
步驟 3：用區間符號寫出定義域
使用區間符號表示定義域，排除受限制的值。使用圓括號 ( ) 表示開區間（不包含該值），使用方括號 [ ] 表示閉區間（包含該值）。
範例
範例 1：有理函數
查找 $f(x) = \frac{1}{x-2}$ 的定義域
解答： 分母 $x-2 = 0$ 當 $x = 2$ 時。因此，定義域是 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$，這意味著除 2 以外的所有實數。
範例 2：平方根函數
查找 $f(x) = \sqrt{x-3}$ 的定義域
解答： 被開方數 $x-3 \geq 0$，所以 $x \geq 3$。定義域是 $[3, +\infty)$。
範例 3：對數函數
查找 $f(x) = \log(x+1)$ 的定義域
解答： 真數 $x+1 > 0$，所以 $x > -1$。定義域是 $(-1, +\infty)$。
區間符號指南
- $(a, b)$ - 開區間：a 和 b 之間的所有數字，不包括 a 和 b
- $[a, b]$ - 閉區間：a 和 b 之間的所有數字，包括 a 和 b
- $(a, b]$ - 半開區間：包括 b 但不包括 a
- $[a, b)$ - 半開區間：包括 a 但不包括 b
- $(-\infty, a)$ - 所有小於 a 的數字
- $(a, +\infty)$ - 所有大於 a 的數字
- $\cup$ - 聯集符號：結合兩個或多個區間
使用本計算機的提示
- 使用 x 作為變數輸入函數
- 使用 ^ 或 ** 表示指數（例如，x^2 或 x**2）
- 使用 sqrt(x) 表示平方根
- 使用 log(x) 表示自然對數
- 使用 sin(x), cos(x), tan(x) 表示三角函數
- 使用 exp(x) 或 e^x 表示指數函數
常見問題
函數可以有空定義域嗎？
是的，如果沒有任何實數 x 能使函數有定義，則函數可以有空定義域。例如，$f(x) = \sqrt{-x^2-1}$ 沒有實數定義域，因為 $-x^2-1$ 總是負數。
定義域與值域有什麼區別？
定義域是指所有可能的輸入值（x 值），而值域是指所有可能的輸出值（y 值）。可以把定義域想像成你可以放入函數的東西，把值域想像成你可以從中得到的東西。
為什麼無窮大要用圓括號？
無窮大總是用圓括號書寫，因為它不是一個可以達到或包含的實數。我們只能趨近無窮大，永遠無法在區間中實際包含它。
更多資源
了解更多關於函數的定義域與值域：
引用此內容、頁面或工具為：
"定義域與值域計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/定義域與值域計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/
由 MiniWebTool 團隊製作。更新於：2025年12月11日
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