終端速度計算機

這款終端速度計算機只需使用物體的質量、阻力係數和橫截面積，即可找出下落物體在空氣阻力與重力平衡時所達到的最大穩定速度。您可以選擇高空跳傘員、雨滴、貓、保齡球或羽毛，或是輸入您自訂的物體，並選擇下落介質（空氣、水或蜂蜜）。本工具會依據公式 \(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\) 計算出終端速度，並準確顯示物體必須下落多長的時間與距離才能真正達到該速度。

什麼是終端速度？

終端速度是指下落物體最終達到的恆定速度。當來自周圍流體的向上阻力變得足夠大，以至於完全抵消向下的萬有引力時，物體便會達到此速度。在淨力為零的情況下，加速度停止（牛頓第一運動定律），物體繼續以該穩定的最大速度下落。任何在空氣中下落的物體（如跳傘員、冰雹、樹葉）都會逐漸趨近其自身的終端速度，這取決於它有多重，以及它的形狀和大小產生了多少阻力。

在真空中，由於沒有流體因此也沒有阻力，所以不存在終端速度：羽毛和鐵錘會以完全相同的速率一起下落，正如太空人大衛·斯科特 (David Scott) 在阿波羅 15 號任務期間於月球上所演示的那樣。

終端速度公式

終端速度公式是透過將阻力設定為等於物體的重量推導而來的。二次方阻力公式為 \(F_d = \tfrac{1}{2}\rho v^2 A C_d\)；將 \(F_d = mg\) 帶入並求解 \(v\) 可得：

其中：

• \(v_t\) — 終端速度（公尺/秒）
• \(m\) — 物體的質量（公斤）
• \(g\) — 重力加速度，在地球上為 \(9.80665\ \text{m/s}^2\)
• \(\rho\) — 流體密度（海平面空氣約為 \(1.225\ \text{kg/m}^3\)）
• \(A\) — 面對流體的橫截面積（平方公尺）
• \(C_d\) — 阻力係數，一個取決於形狀的無因次數（球體 ≈ 0.5，平板或展開身體的跳傘員 ≈ 1.0–1.3）

需要多長時間才能達到終端速度？

從靜止狀態下落的物體不會立即達到終端速度，而是沿著雙曲正切 (hyperbolic tangent) 曲線平滑地趨近它，且嚴格來說，永遠無法完全觸及 100%：

特徵時間 \(\tau = v_t/g\) 代表趨近過程發生的快慢。在實際應用中，物理學家通常認為物體在達到終端速度的 1% 或 2% 以內時，就已經「達到了終端速度」。本計算機會利用公式 \(t_f = \tau\,\operatorname{arctanh}(f)\) 和 \(x_f = \tfrac{v_t^2}{2g}\ln\!\big(1/(1-f^2)\big)\)，回報物體達到終端速度 95% 和 99% 的確切時間與下落距離。例如，一個腹部朝下的高空跳傘員大約需要下落 10 秒和約 450 公尺才能達到 95%。

常見物體的終端速度（在空氣中）

什麼會影響終端速度？

如何使用本計算機

1. 選擇物體： 選擇預設物體，如高空跳傘員、雨滴或保齡球，或選擇「自訂物體」來輸入您自己的數值。
2. 輸入質量、阻力和面積： 對於自訂物體，輸入其質量、阻力係數和橫截面積，並選擇單位（kg/g/lb 和 m²/cm²/ft²）。
3. 選擇介質： 選擇海平面空氣、高空稀薄空氣、水或蜂蜜——這將決定流體密度。
4. 點擊計算： 本工具將套用 \(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\) 公式並立即顯示結果。
5. 探索結果： 讀取以 m/s、km/h、mph 和馬赫為單位的終端速度，觀看下落動畫和雙曲正切 (tanh) 趨近曲線，查看達到終端速度所需的時間和距離，並跟隨逐步演算步驟。

常見問題

什麼是終端速度？

終端速度是下落物體所達到的恆定最大速度，此時來自空氣（或其他流體）的向上阻力與向下的萬有引力完全平衡。此時淨力為零，因此物體停止加速。對於腹部朝下的高空跳傘員，這大約是每小時 190 公里。

如何計算終端速度？

終端速度等於（2 × 質量 × 重力，除以流體密度、橫截面積和阻力係數的乘積）的平方根：\(v_t = \sqrt{2mg / (\rho A C_d)}\)。重力加速度為 \(9.81\ \text{m/s}^2\)，海平面空氣密度約為 \(1.225\ \text{kg/m}^3\)。較重或較緊湊的物體下落較快；較大或阻力較大的物體下落較慢。

較重的物體會達到較高的終端速度嗎？

是的。終端速度隨著質量的平方根而增加，因此對於相同的形狀，較重的物體下落得更快。這與真空環境不同，在真空中每個物體都以相同的速率加速。在有空氣阻力的情況下，保齡球達到的終端速度比同樣大小的海灘球高得多。

需要多長時間才能達到終端速度？

從靜止狀態下落的物體沿著雙曲正切 (tanh) 曲線趨近終端速度，且永遠無法完全達到 100%。它通常會在幾秒鐘內達到大約 95%。人類跳傘員在下落約 10 秒和 450 公尺後，可達到約 95% 的終端速度。本計算機會回報您的物體達到 95% 和 99% 所需的確切時間和距離。

人類的終端速度是多少？

腹部朝下下落的跳傘員終端速度約為 53 m/s——大約是 190 km/h 或 120 mph。在頭朝下的俯衝中，由於迎風面積小得多，該速度可上升到約 90 m/s 或更高。飛鼠裝滑翔則是將垂直速度轉化為較慢的滑翔式降落。

為什麼羽毛和鐵錘在月球上以相同的速率下落？

終端速度只有在存在流體以產生阻力時才存在。在沒有空氣的月球上沒有空氣阻力，也沒有終端速度，因此所有物體都會一起加速——正如阿波羅 15 號的羽毛與鐵錘演示所展示的那樣。在地球上，羽毛巨大的面積和微小的質量使其終端速度非常低，因此它會緩慢飄落。

其他資源

• 終端速度 - 維基百科
• 阻力係數 - 維基百科