負の二項分布電卓

負の二項分布電卓

負の二項分布計算機は、目標とする成功回数を達成するまでに必要な失敗の数（または総試行回数）の正確な確率を計算します。必要な成功回数 (r)、1試行あたりの成功確率 (p)、および目標値 (k) を入力すると、点確率と累積確率、ステップバイステップの組み合わせ解、インタラクティブなチャート、および試行シーケンスの可視化が表示されます。

負の二項分布とは？

負の二項分布は、一連の独立したベルヌーイ試行において、指定された回数の成功が発生するまでの失敗回数をモデル化する離散確率分布です。各試行は同じ成功確率 p を持ちます。「5件目の成約を得るまでに何回の不成立のセールスコールを行うか？」や「10個の良品を見つけるまでに何個の不良品を検査するか？」といった問いに答えます。

この分布の名前は、その導出に使用される負の二項級数展開に由来しています。これは、r = 1（1回の成功が必要）の特殊なケースである幾何分布を一般化したものです。

2つの一般的なパラメータ設定

負の二項分布には、確率変数が何をカウントするかによって、2つの等価な定式化があります。

• 失敗回数設定 (X): X は r 回目の成功の前の失敗のみをカウントします。X は 0, 1, 2, 3, ... の値をとります。PMF は P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k です。
• 試行回数設定 (Y): Y は r 回目の成功までの総試行回数（成功と失敗の両方）をカウントします。Y は r, r+1, r+2, ... の値をとります。関係式は Y = X + r です。

この電卓は両方をサポートしています。トグルを使用して、k を失敗回数として入力するか総試行回数として入力するかを切り替えてください。

負の二項分布の PMF 公式

失敗回数設定において、確率質量関数 (PMF) は以下の通りです。

P(X = k) = C(k + r − 1, r − 1) × p^r × (1 − p)^k

ここで、C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) は二項係数です。項 C(k + r − 1, r − 1) は、最初の k + r − 1 回の試行の中で k 回の失敗と r − 1 回の成功を配置する方法の数をカウントします（最後の試行は必ず成功である必要があります）。項 p^r は r 回の成功の確率、(1 − p)^k は k 回の失敗の確率です。

平均、分散、その他の統計量

パラメータ r と p を持つ負の二項確率変数 X (失敗回数設定) の場合:

• 平均: μ = r(1 − p) / p
• 分散: σ² = r(1 − p) / p²
• 標準偏差: σ = √(r(1 − p) / p²)
• 最頻値: r > 1 のとき ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋、r = 1 のとき 0
• 歪度: (2 − p) / √(r(1 − p))

試行回数設定 Y = X + r の場合、平均は r/p にシフトし、分散は変わりません。

他の分布との関係

• 幾何分布: r = 1 の特殊なケース。最初の成功までの失敗回数をモデル化します。
• 二項分布: 二項分布は試行回数を固定して成功回数をカウントするのに対し、負の二項分布は成功回数を固定して試行回数/失敗回数をカウントします。
• ポアソン分布: 負の二項分布はポアソン・ガンマ混合分布として見なすことができます。r(1 − p)/p を一定に保ちながら r → ∞ かつ p → 1 とすると、負の二項分布はポアソン分布に近づきます。

一般的な用途

• セールスとマーケティング — 既知の成約率がある場合、目標数の成約を得るまでに何回の電話が必要か？
• 品質管理 — 目標数の適合品を見つけるために、何個のアイテムを検査する必要があるか？
• 臨床試験 — 目標数の肯定的な反応を得るまでに、何人の患者を登録する必要があるか？
• 保険 — 分散が平均を超える場合の請求件数のモデル化（ポアソン分布に対する過分散）。
• 生態学 — カウントデータがポアソンモデルで許容されるよりも大きな変動を示す種の豊富さデータのモデル化。
• スポーツアナリティクス — アスリートが目標数の成功結果に達するまでに、何回のショットや試行が必要か？

この電卓の使い方

1. 達成したい成功回数 r を入力します (r ≥ 1)。
2. 各試行の成功確率 p を入力します (0 < p ≤ 1)。
3. 入力モードを選択します：k が失敗回数を表すか、総試行回数を表すかを選択します。
4. 確率を求めたい具体的な値 k を入力します。
5. 「確率を計算する」をクリックして、正確な確率と累積確率、ステップバイステップの組み合わせ解、試行シーケンスの可視化、PMF/CDFチャート、および完全な分布表を表示します。

よくある質問 (FAQ)

負の二項分布と二項分布の違いは何ですか？

二項分布は試行回数を固定し、ランダムな成功回数をカウントします。負の二項分布は成功回数を固定し、ランダムな試行回数（または失敗回数）をカウントします。これらは相補的な問いに答えます。二項分布は「n 回の試行で何回成功するか？」を問い、負の二項分布は「r 回の成功までに何回試行が必要か？」を問います。

ポアソン分布の代わりに負の二項分布をいつ使うべきですか？

カウントデータに過分散（分散が平均よりも大きい状態）が見られる場合に負の二項分布を使用します。ポアソン分布は平均と分散が等しいことを前提としています。負の二項分布には、分散が平均を超えることを可能にする追加のパラメータがあるため、現実世界の多くのカウントデータセットにより適しています。

r = 1 は何を意味しますか？

r = 1 のとき、負の二項分布は幾何分布に簡略化されます。これは最初の成功までの失敗回数をモデル化します。例えば、最初に「表」が出るまでに「裏」が出る回数などです。

p は 0 または 1 になりますか？

確率 p は 0 より大きくある必要があります。p = 0 の場合、成功は不可能であるため、無限の試行が必要になります。p = 1 の場合、すべての試行が成功するため、失敗は常に 0 回となり、分布は退化します（すべての確率質量が k = 0 に集まります）。この電卓では、特殊なケースとして p = 1 を受け入れます。

負の二項分布は回帰分析でどのように使用されますか？

負の二項回帰は、カウントデータに過分散が見られる場合に使用されるポアソン回帰の一般化です。条件付き分散が条件付き平均を超えることを可能にする分散パラメータを追加します。一般的な用途には、病院への訪問回数、交通事故の頻度、種の豊富さデータのモデル化などがあります。