内積電卓

2D、3D、またはそれ以上の次元の2つのベクトルの内積（スカラー積）を計算します。ベクトルの角度、大きさ、スカラー射影とベクトル射影、幾何学的解釈、およびインタラクティブなベクトル図付きのステップバイステップの数式を取得します。

内積電卓

内積計算機は、代数公式 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\) を使用して、2D、3D、またはそれ以上の次元における2つのベクトルのスカラー積を計算します。2つのベクトルの成分を入力すると、内積、ベクトル間の角度、大きさ、スカラー射影とベクトル射影、幾何学的解釈、およびインタラクティブなベクトル図付きのステップバイステップの解決策を即座に取得できます。

実社会での応用

⚡

物理学：仕事

W = F · d で力が行った仕事を計算します

💡

ライティング

ランベルト反射は明るさに N · L を使用します

🤖

機械学習

コサイン類似度でドキュメントの関連性を測定します

🎮

ゲーム開発

衝突判定や視界チェックに使用されます

📡

信号処理

内部積を介した信号間の相関関係を求めます

🏗

工学

特定の方向に沿った力の成分を分解します

主要な公式

性質	公式	説明
内積	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i\)	成分ごとの積の和
幾何学的形式	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\)	大きさの積と角度の余弦の積
角度	\(\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\)	2つのベクトル間の角度（0°から180°）
大きさ	\(\|\vec{a}\| = \sqrt{\sum a_i^2}\)	ベクトルの長さ（ユークリッドノルム）
スカラー射影	\(\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|}\)	b に対する a の影の符号付きの長さ
ベクトル射影	\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b}\)	b に沿った a のベクトル成分

内積 vs. 外積

内積 (a · b)

スカラー値を生成します。任意の次元（2D, 3D, nD）で機能します。2つのベクトルがどの程度同じ方向を向いているかを測定します。ベクトルが垂直なときにゼロになります。射影、角度、仕事の計算に使用されます。

外積 (a × b)

両方の入力に垂直なベクトルを生成します。3D（および7D）でのみ定義されます。大きさは、ベクトルによって形成される平行四辺形の面積に等しくなります。ベクトルが平行なときにゼロになります。トルク、法線、面積の計算に使用されます。

幾何学的解釈の理解

内積には深い幾何学的意味があります：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)。これにより、以下のことが分かります：

正の内積 (θ < 90°): ベクトルはおおむね同じ方向を向いています。
ゼロの内積 (θ = 90°): ベクトルは垂直（直交）です。これは線形代数における直交性テストの基礎です。
負の内積 (θ > 90°): ベクトルはおおむね反対の方向を向いています。

\(\vec{b}\) 上への \(\vec{a}\) のスカラー射影は、光が \(\vec{b}\) に垂直に当たったときの \(\vec{a}\) の「影」の符号付きの長さを与えます。ベクトル射影は、この影を \(\vec{b}\) に沿った実際のベクトルとして与えます。

内積計算機の使い方

次元を選択する： 2D、3D、4D、または高次元の場合はカスタムを選択します。クイック例をクリックしてサンプル値を自動入力することもできます。
ベクトル a を入力する： 成分をコンマで区切って入力します（例：3Dベクトルの場合は 3, 4, 5）。
ベクトル b を入力する： 同じ次元の2番目のベクトルの成分を入力します。
ライブプレビューを確認する： 入力に合わせてベクトル図がリアルタイムで更新され、ベクトル間の空間的な関係と角度が表示されます。
計算をクリックする： ボタンを押すと、内積、角度、大きさ、射影、解釈、ステップバイステップの数式を含む完全な結果が表示されます。

内積の性質

交換法則： \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
分配法則： \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
スカラー倍： \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
自己の内積： \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\) (大きさの2乗)
コーシー＝シュワルツの不等式： \(|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|\)

FAQ

2つのベクトルの内積とは何ですか？

2つのベクトル a と b の内積（スカラー積または内部積とも呼ばれる）は、対応する成分の積の和です：a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ。これはベクトルではなく、単一のスカラー値を生成します。幾何学的には、|a||b|cos θ に等しくなります（θ はベクトル間の角度）。

内積を使って2つのベクトル間の角度を求めるにはどうすればよいですか？

公式 θ = arccos(a · b / (|a| × |b|)) を使用します。まず内積を計算し、次に2つの大きさの積で割って cos θ を求め、最後に逆余弦をとります。結果は常に 0° から 180° の間になります。

内積がゼロであることは何を意味しますか？

2つのゼロでないベクトルの内積がゼロであるとき、それらのベクトルは垂直（直交）であり、90°の角度をなしていることを意味します。これは内積の最も重要な性質の1つであり、直交性をテストするために線形代数、物理学、コンピュータグラフィックスで広く使用されています。

内積と外積の違いは何ですか？

内積はスカラーを生成し、2つのベクトルがどの程度整列しているかを測定します。これは任意の次元で機能します。外積は両方の入力に垂直なベクトルを生成し、3Dでのみ定義されます。内積は角度や射影に使用され、外積はトルク、表面法線、面積の計算に使用されます。

ベクトル射影とは何ですか？

b 上への a のベクトル射影は、b の方向に沿ったベクトル a の成分です。これは (a · b / |b|²) × b に等しくなります。スカラー射影（成分とも呼ばれる）は a · b / |b| であり、この射影の符号付きの長さを与えます。スカラー射影が正の場合、a は b の方向の成分を持ち、負の場合は b と反対方向を向いています。

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"内積電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/内積計算機/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

MiniWebtool チームによる作成。最終更新日: 2026-04-09

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また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。