3D曲面プロッター

3D曲面プロッターは、2変数関数 \( z = f(x, y) \) を完全にインタラクティブな3D地形として、ブラウザ上に直接描画します。ビューポート内をドラッグして曲面を回転させたり、スクロールやピンチでズームしたり、右ドラッグ（モバイルでは2本指でのパン移動）でビューをスライドさせたりできます。sin、cos、exp、log、sqrt のフルサポート、定数 \( \pi \) や \( e \)、さらには x^2 や 2xy のような直感的な記述に対応した独自の関数を入力できます。また、10個のプリセットのいずれかをクリックすれば、古典的なサドル（鞍型）、放物面、メキシカンハットsinc、モンキーサドル、エッグクレート、ガウスの凸凹などを即座にレンダリングできます。等角投影と透視投影、6つの知覚的なカラーマップ、3つのワイヤーフレームスタイルから選択し、現在のビューを高解像度の PNG としてエクスポートできます。

3D曲面プロットの仕組み

古典的な曲面のギャラリー

この3Dプロッターの違い

数式構文 — クイックリファレンス

3D曲面の読み方

曲面プロットは、形状と色の両方に膨大な情報をエンコードします。練習を重ねることで、いくつかのパターンを識別できるようになります：

• 臨界点は、曲面が水平な接平面を持つ場所です。局所的極大値はドームの頂上のように見え、局所的極小値はボウルの底のように見え、サドル点（鞍点）は一方向には上向きに曲がり、それに直交する方向には下向きに曲がります。サドルのプリセットをクリックしてビューを回転させてみてください：ある軸に沿っては笑顔（凸）のように見え、別の軸に沿ってはしかめ面（凹）のように見えます。
• 等高線（レベル曲線）は、カラーマップが分岐型や地形スタイルの場合に自然に現れます。同じ色の帯が、一定の \( z \) の線をなぞり出します。
• 勾配方向は、各点において最も急な上り坂となる方向です。視覚的には、等高線に直交し、より暖色系に向かう方向になります。
• 対称性は3Dにおいて明白です：\( z = x^2 + y^2 \) は回転対称（ボウル型）であり、\( z = x^2 - y^2 \) は鏡像対称のみを持ち（サドル型）、\( z = x^3 - 3xy^2 \) は美しい3回回転対称（モンキーサドル）を持ちます。

サドルからSincまで：1クリックツアー

プリセットギャラリーは、最もよく教えられている多変数曲面を巡るガイド付きツアーです。初めて体験する方におすすめの順序：

1. 放物面 \( z = x^2 + y^2 \) — 最も親しみやすい3D曲面。原点に1つの最小値を持つ、回転対称のボウル型です。
2. サドル \( z = x^2 - y^2 \) — 象徴的なプリングルズの形。正と負の分割をすぐに確認するには、cool-warm カラーマップを試してください。
3. 双曲放物面 \( z = xy \) — サドルを 45° 回転させたもの。形状は同じですが、向きが異なります。
4. モンキーサドル \( z = x^3 - 3xy^2 \) — 原点の周りに2つではなく3つの傾斜があります。サルが座るときに尻尾を置くスペースも必要であることから名付けられました。
5. ガウス \( z = e^{-(x^2+y^2)} \) — 2Dにおけるベルカーブ（正規分布）。統計学、信号処理、物理学の基礎となる形状です。
6. メキシカンハットsinc \( z = \sin\sqrt{x^2+y^2}/\sqrt{x^2+y^2} \) — 放射状sinc関数。フーリエ光学、回折パターン、およびその名を持つウェーブレットに現れます。
7. エッグクレート \( z = \sin x \sin y \) — 2つの方向に周期性があります。ワイヤーフレームをオンに切り替えて、グリッド線が凸凹と整列している様子を確認してください。
8. 波紋 \( z = \sin\sqrt{x^2+y^2} \) — 原点から広がる同心円状の波。広い −8 から 8 の領域で試すのが最適です。

現実世界での用途

• 多変数微積分: 毎回手で描き直すことなく、偏導関数、勾配、臨界点、ラグランジュの未定乗数法を視覚化できます。
• 物理学: ポテンシャルエネルギー曲面、電磁場強度、流体圧力分布、量子波動関数はすべて \( z = f(x, y) \) として存在します。
• 機械学習: 2Dの重み部分空間の周囲の損失ランドスケープ（Loss Landscape）は、勾配降下法が機能する理由（およびサドルが問題になる理由）の直感を養うのに役立ちます。
• コンピュータグラフィックス: 地形のハイトマップはまさにこれです — 正方グリッド上でサンプリングされ、三角形化された関数 \( h(x, y) \) です。
• 土木工学: 地形分析、ダムの集水域、土木工事の土量推定のための標高モデル。
• データ視覚化: 国全体の気温、地域や月ごとの売上、2つのハイパーパラメータにおける適合度など、2つの独立した変数に依存するあらゆる量は、自然に曲面としてレンダリングされます。

美しいプロットのためのヒント

• 関数に領域（ドメイン）を合わせる。 多項式は通常 −3 から 3 で表示されます。sincのような振動関数は、波紋を明らかにするために広い領域（−8 から 8）が必要です。原点付近の単一のサドルにズームインするには、−1 から 1 を使用します。
• 適切なカラーマップを選ぶ。 正と負の領域を持つ曲面には cool-warm を使用します — 白い中間点が即座にゼロレベルを示します。非負の曲面には viridis または plasma を使用します。景観スタイルのハイトマップには terrain を使用します。
• ポートフォリオ用のレンダリングではワイヤーフレームをオフにする。 微かなワイヤーフレームは教育用（「メッシュを見る」）に最適です。出版品質の図を作成する場合は、ワイヤーフレームを「なし」に設定し、解像度を「高」または「ウルトラ」に上げてください。
• 自動回転で豊かなアニメーションをキャプチャする。 「自動回転」を押してから画面録画を開始します — 手動で操作することなく、回転する曲面をスライドに埋め込むのに最適です。
• 領域が大きすぎると曲面が平坦になることがある。 関数の値が端の近くで巨大になる場合、内部の詳細が潰れてしまいます。領域を狭めるか、関数をスケールダウン（例：\( z / 100 \)）して、見たい変化を視界に戻してください。

よくある質問（FAQ）