双曲線電卓

あらゆる双曲線の中心、頂点、焦点、漸近線、離心率、および方程式を計算します。標準形と一般形の両方に対応し、インタラクティブなグラフとステップバイステップの解決策を提供します。

双曲線電卓

双曲線電卓は、中心、頂点、焦点、漸近線、離心率、半軸、および通径（直弦）といった、あらゆる双曲線の主要な特性を求めます。標準形と一般の2次方程式の両方をサポートしており、ステップバイステップの解決策と、両方の分枝、漸近線、および補助長方形を示すインタラクティブなグラフを提供します。

双曲線電卓の使い方

方程式の形式を選択: 半軸 (a, b) と中心 (h, k) を直接入力する「標準形」、または一般方程式 (\(Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\)) を入力する「一般形」を選択します。
向きを選択 (標準形のみ): 主軸が水平か垂直かを選択します。
値を入力: 係数やパラメータを入力します。クイック例を使用して、プリセットされた双曲線をすぐに試すこともできます。
「双曲線を計算」をクリック して、頂点、焦点、漸近線、離心率などを含むすべてのプロパティを計算します。
インタラクティブなグラフを確認: 両方の分枝、中心、頂点、焦点、漸近線、および補助長方形を色分けして示した図を表示します。

双曲線とは何ですか？

双曲線とは、平面が二重円錐の両方のナッペ（半分）と交差するときに形成される円錐曲線の一種です。これは、分枝と呼ばれる2つの別々の開いた曲線で構成されます。数学的な定義では、双曲線とは、平面上の2つの固定点（焦点）からの距離の差の絶対値が一定で、\(2a\) に等しいすべての点の集合です。

双曲線方程式の標準形

主軸の向きに応じて、2つの標準形があります。

水平な主軸: \(\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\) — 双曲線は左右に開き、頂点は \((h \pm a,\ k)\) にあります。
垂直な主軸: \(\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1\) — 双曲線は上下に開き、頂点は \((h,\ k \pm a)\) にあります。

ここで \((h, k)\) は中心、\(a\) は半主軸、\(b\) は半共役軸です。

双曲線の主な構成要素

中心: 2つの頂点の中点で、\((h, k)\) に位置します。
頂点: 中心から主軸に沿って距離 \(a\) の位置にある、中心に最も近い双曲線上の2つの点です。
焦点: 中心から距離 \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) にある2つの固定点です。双曲線の定義プロパティはこれらの点に関係しています。
漸近線: 中心を通り、分枝が近づくものの決して交わることのない2つの直線です。水平な双曲線の場合: \(y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)\) です。
離心率: \(e = \frac{c}{a}\) で、常に1より大きくなります。分枝がどれだけ「開いているか」を測定します。値が大きいほど、分枝はより平坦で開いたものになります。
通径（直弦）: 各焦点を通り主軸に垂直な弦で、長さは \(\frac{2b^2}{a}\) です。
共役軸: 主軸に垂直な軸で、長さは \(2b\) です。主軸とともに補助長方形を定義します。