四次方程式計算機

フェラーリの解法を使用して、任意の四次方程式 ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 を解きます。4つの根（実数および複素数）すべて、ステップバイステップの解決策、判別式分析、因数分解形、およびインタラクティブなグラフを取得します。

四次方程式計算機

四次方程式計算機は、ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 の形式のあらゆる四次（四次多項式）方程式の4つの解をすべて見つけます。5つの係数を入力すると、フェラーリの方法、判別式分析、因数分解形式、ヴィエタの公式、およびインタラクティブなグラフを使用したステップバイステップの解法とともに即座に結果が得られます。

四次方程式計算機の使い方

係数を入力する: 四次方程式 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 の a, b, c, d, e の値を入力します。先頭の係数 a は 0 であってはなりません。
「四次方程式を解く」をクリックして、4つの解をすべて計算します。
解を確認する: 各解は、実数か複素数かを示すラベルとともに表示されます。実数解は緑色のカード、複素数解は青色のカードに表示されます。
ステップバイステップの解法を学習する: 還元四次方程式から分解三次方程式を経て、最終的な二次方程式の因数分解に至るフェラーリの方法を確認します。
グラフを探索する: 実数解が緑色でマークされた四次関数のプロットを確認します。

四次方程式とは何ですか？

四次方程式とは、4次の多項式方程式です：

\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)

ここで \(a \neq 0\) です。代数学の基本定理により、すべての四次方程式には（重解を含めて）ちょうど4つの解があり、それらは実数または複素数になります。常に少なくとも1つの実数解を持つ三次方程式とは異なり、四次方程式は実数解を 0、2、または 4 個持つことができます。

フェラーリの方法

1540年にロドヴィコ・フェラーリによって発見され（1545年に彼の師であるカルダノによって出版された）、これは四次方程式を解くための古典的な方法です。以下の手順で機能します：

四次方程式の還元: \(x = t - \frac{b}{4a}\) を代入して3次の項を除去し、\(t^4 + pt^2 + qt + r = 0\) を得ます。
補助変数の導入: 両辺に \(mt^2 + m^2/4\) を加え、右辺が完全平方式になるように \(m\) を選択します。
分解三次方程式の求解: 完全平方式になるための条件から、\(m\) に関する三次方程式が導かれます。
二次方程式への因数分解: 適切な \(m\) を使用すると、四次方程式は \((t^2 + st + u_1)(t^2 - st + u_2) = 0\) と因数分解されます。
二次方程式の解の公式の適用: 2回適用して、4つの解をすべて見つけます。

四次方程式の判別式

四次方程式の判別式は、解の性質を決定する係数の多項式表現です：

\(\Delta > 0\): 4つの解すべてが実数であるか、4つの解すべてが複素数（2組の共役複素数）です。
\(\Delta < 0\): ちょうど2つの実数解と2つの共役複素数解があります。
\(\Delta = 0\): 方程式は少なくとも1つの重解を持ちます。

四次方程式の判別式は、係数の次数が最高6次までの項を含み、三次方程式の判別式よりもかなり複雑です。

四次方程式のヴィエタの公式（根と係数の関係）

\(x_1, x_2, x_3, x_4\) を \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\) の4つの解とすると：

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}\)
\(\sum_{i
\(\sum_{i
\(x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{e}{a}\) （すべての解の積）

特殊なケース

複二次方程式 (\(b = d = 0\)): \(ax^4 + cx^2 + e = 0\) — \(u = x^2\) と置いて、得られた二次方程式を解きます。
還元四次方程式 (\(b = 0\)): \(x^4 + cx^2 + dx + e = 0\) — すでにフェラーリの方法に適した簡略化された形式です。
2乗の差: \(x^4 - k^2 = (x^2 + k)(x^2 - k)\)
完全4乗: \((x - r)^4 = x^4 - 4rx^3 + 6r^2x^2 - 4r^3x + r^4\)