線積分計算機
MiniWebtoolの線積分計算ツールで、媒介変数表示の経路に沿ってスカラー場またはベクトル場を積分できます。2次元・3次元の曲線に対応し、記号計算の手順、弧長、選択した経路の図を表示します。
使い方がわからないときはAIに聞く
スカラー場またはベクトル場と、2D または 3D の曲線の媒介変数表示を入力すると、途中式つきの線積分、弧長、曲線のグラフが得られます。
広告ブロッカーにより広告を表示できません
MiniWebtool は広告収入によって無料で提供されています。このツールがお役に立った場合は、広告なしの閲覧とより多い毎日の利用回数のためにアップグレードするか、MiniWebtool.com を許可して再読み込みしてください。
- MiniWebtool.com の広告を許可して再読み込み
- またはアップグレードして広告なしと高い日次上限を利用
線積分計算機
線積分計算機は、2Dおよび3D空間における媒介変数曲線に沿ったスカラー線積分 \(\int_C f\,ds\) とベクトル線積分 \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) の両方を評価します。場、媒介変数方程式、およびパラメータの範囲を入力すると、記号的な結果、弧の長さの計算、およびアニメーション化された曲線の視覚化を含む完全なステップごとの解説が表示されます。
一目でわかる
線積分計算機は、2D・3Dの媒介変数表示された曲線に沿って、スカラー場とベクトル場の線積分を計算します。解説付きの記号式の結果、経路の弧長、曲線のアニメーション図を表示します。
| 機能 | できること | 向いている用途 |
|---|---|---|
| スカラー線積分 | f(x, y)またはf(x, y, z)を曲線に沿って積分し、弧長で重み付けします：f(r(t)) x |r'(t)| dtの積分。 | 密度が変化する針金の質量や経路に沿った合計値 |
| ベクトル線積分 | 成分P、Q、3Dの場合はRについて、Fとr'(t)の内積を求めます。 | 力場のする仕事や閉曲線に沿った循環 |
| 2D・3Dの曲線 | x(t)、y(t)、必要に応じてz(t)を入力し、tの開始値と終了値を指定します。範囲にはpiや2*piなどの式も使えます。 | 円、らせん、放物線などの媒介変数表示の経路 |
| 弧長と速さ | 曲線全体の長さと、弧長要素として使う速さ|r'(t)|を報告します。 | 媒介変数曲線の長さを確認する |
| 保存場の判定 | ベクトル積分ではFのカールが0かを調べ、積分が経路に依存しないかを確認します。 | ポテンシャル関数を使う近道が適用できるか判断する |
| 結果と手順 | 可能な場合は正確な記号値と数値近似を示し、計算手順を順に表示します。 | 微積分の課題を確認する |
| 曲線のアニメーション | 経路の図に移動する点を示し、積分方向を表します。円、渦、3Dらせんの例があります。 | 積分する経路を視覚化する |
線積分の公式
| 種類 | 公式 | 説明 |
|---|---|---|
| スカラー ∫f ds | \(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt\) | 速度で重み付けされた曲線に沿ってスカラー関数を積分します |
| ベクトル ∫F·dr | \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\) | 内積の積分により仕事や循環を測定します |
| 弧の長さ | \(L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\) | 媒介変数曲線の全長 |
| 保存場 | \(\int_C \nabla\phi\cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{r}(b)) - \phi(\mathbf{r}(a))\) | 線積分の基本定理 |
線積分計算機の使い方
- 積分の種類を選択します。 スカラー線積分の場合は「∫f ds」、ベクトル（仕事/循環）線積分の場合は「∫F·dr」を選択します。
- 次元を選択します。 曲線と場に合わせて 2D または 3D を選択します。
- 場を入力します。 スカラー積分の場合は、関数 f(x, y) または f(x, y, z) を入力します。ベクトル積分の場合は、各成分 P、Q、R を入力します。
- 媒介変数曲線を定義します。 x(t)、y(t)、および必要に応じて z(t) を入力します。標準的な数学記法（
cos(t)、t^2、sin(t)など）を使用してください。 - 範囲を設定します。 t の開始値と終了値を入力します。
piや2*piなどの式を使用できます。 - 「計算」をクリックして、ステップごとの解説、数値結果、弧の長さ、および曲線のアニメーションを確認します。
一般的な媒介変数曲線
| 曲線 | 媒介変数表示 | 範囲 |
|---|---|---|
| 円（半径 R） | x = R cos(t), y = R sin(t) | t ∈ [0, 2π] |
| 線分 A→B | r(t) = (1−t)A + tB | t ∈ [0, 1] |
| 放物線 y = x² | x = t, y = t² | t ∈ [a, b] |
| 螺旋 | x = cos(t), y = sin(t), z = t | t ∈ [0, 2π] |
| 楕円 | x = a cos(t), y = b sin(t) | t ∈ [0, 2π] |
結果の見方
電卓は結果として以下の情報を提供します：
- 積分値: 可能な場合は正確な記号解と、その数値近似値。
- 弧の長さ: \(\int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\) として計算される曲線の全長。
- 速度 |r'(t)|: 弧の長さの要素として機能する速度ベクトルの大きさ。
- 保存場チェック: ベクトル積分の場合、電卓は ∇×F = 0（場が保存場であるか）をチェックします。保存場は経路に依存しない積分を持ちます。
- 曲線の視覚化: 媒介変数曲線のアニメーションプロット。移動する点が経路をたどり、進行方向を示します。
よくある質問
線積分とは何ですか？
線積分は、曲線に沿った関数の積分を計算するものです。スカラー場の場合、弧の長さで重み付けされた f の値を合計します（∫f ds）。ベクトル場の場合、接線方向に沿った F の成分を合計し（∫F·dr）、多くの場合、力場によって行われる仕事として解釈されます。
スカラー線積分とベクトル線積分の違いは何ですか？
スカラー線積分 ∫C f ds は、弧の長さの要素 ds で重み付けされたスカラー関数 f を曲線に沿って積分し、経路に沿った f の総蓄積値を与えます。ベクトル線積分 ∫C F·dr は、接線ベクトル dr との内積をとることによって曲線に沿ってベクトル場 F を積分し、F が曲線の方向にどれだけ押しているかを測定します。スカラー積分は質量や平均値の問題に使用され、ベクトル積分は仕事や循環の計算に使用されます。
線積分のために曲線をどのように媒介変数表示しますか？
媒介変数曲線 r(t) は、各座標を単一のパラメータ t の関数として表します。例えば、半径 R の円は、t を 0 から 2π として、x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) と媒介変数表示されます。その後、線積分の公式によって、曲線積分は t に関する標準的な定積分に変換されます。
ベクトル線積分が経路に依存しないのはどのような時ですか？
ベクトル場 F が保存力場であるとき、つまり単連結領域のいたるところで回転（curl）がゼロであるとき、ベクトル線積分は経路に依存しません。その場合、 F はポテンシャル関数 φ の勾配に等しく、積分値は特定の経路ではなく、端点での φ の値のみに依存します。この電卓は自動的にこの条件をチェックします。
線積分の物理的な意味は何ですか？
物理的には、スカラー線積分は密度が変化する針金の質量や、経路に沿った総熱量を表すことができます。ベクトル線積分は一般に、曲線に沿って移動する粒子に対して力場が行う仕事や、ループの周りの流体速度場の循環を表します。電磁気学では、アンペールの法則やファラデーの法則に線積分が登場します。
この電卓はどのような数学記法を受け付けますか？
標準的な数学記法を使用してください：指数には ^ (x^2)、乗算には * (2*x ですが、2x のような暗黙の乗算も機能します)、および sin, cos, tan, exp, log, sqrt などの標準的な関数名です。パラメータの範囲には、pi、2*pi、または数値を入力できます。
このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合：
"線積分計算機"（https://MiniWebtool.com/ja/線積分計算機/）、MiniWebtool、https://MiniWebtool.com/
MiniWebtool チームによる作成。更新日: 2026-04-08
お気に入りのAIに聞く
Geminiでは、コピーした質問文をチャットに貼り付けてください。下からコピーすることもできます。
質問文を見る
微積分:
- 平均変化率計算機 新しい
- ベルヌーイ方程式ソルバー 新しい
- 畳み込み電卓
- 回転カール電卓 新しい
- 曲率電卓
- 導関数電卓
- 方向場・傾き場プロッター 新しい
- 方向導数電卓
- 発散計算機 新しい
- 二重積分電卓
- オイラー法電卓 新しい
- 高速フーリエ変換FFT電卓 新しい
- 一階常微分方程式ソルバー 新しい
- フーリエ級数係数電卓
- 勾配計算機多変数 新しい
- 暗黙の微分電卓
- 広義積分電卓 新しい
- 無限級数和電卓 新しい
- 瞬間変化率電卓 新しい
- 積分計算機 人気
- 逆ラプラス変換電卓
- ロピタルの定理計算機 新しい
- ラプラス変換電卓
- 極限計算機
- 線積分計算機 新しい
- マクローリン級数電卓 新しい
- ニュートン法電卓 人気
- 数値積分電卓 新しい
- 最適化電卓微積分 新しい
- 偏微分電卓 人気
- べき級数電卓 新しい
- 収束半径電卓
- 関連変化率ソルバー 新しい
- リーマン和電卓 新しい
- ルンゲクッタRK4法電卓
- 二階常微分方程式ソルバー 新しい
- 級数収束判定電卓 新しい
- シンプソン則電卓 新しい
- 単変数の導関数電卓
- 面積分電卓 新しい
- 回転体の表面積計算機 新しい
- 常微分方程式系ソルバー 新しい
- テイラー級数電卓 人気
- 台形公式電卓 新しい
- 三重積分電卓
- 回転体の体積電卓 新しい
- ロンスキアン電卓
- z変換電卓 新しい