外接円電卓

三角形の外接円を計算します。3辺の長さ、または3つの頂点座標を入力すると、外接円の半径、外接心、面積、角度を求め、ステップバイステップの数式と共に対話的な図を表示します。

外接円電卓

外接円電卓は、あらゆる三角形の外接円を算出します。外接円（circumcircle）とは、三角形の3つの頂点すべてを通る唯一の円のことです。3辺の長さ、または3つの頂点の座標を入力すると、外接円の半径、外心の位置、三角形の面積、内角などを瞬時に計算し、インタラクティブな SVG 図解とステップバイステップの公式を表示します。

外接円の主要概念

⊙

外接円

三角形の3頂点すべてを通る唯一の円

⊕

外心

3つの頂点から等距離にある中心点

⊥

垂直二等分線

外心で交わる3本の直線

↔

外接円の半径

R = abc / (4K)、Kは三角形の面積

外接円の公式

辺を a, b, c、半周長を s = (a + b + c) / 2 とする三角形の場合:

項目	公式	説明
三角形の面積（ヘロンの公式）	\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)	3辺と半周長から面積を求める
外接円の半径	\(R = \frac{abc}{4K}\)	外接する円の半径
外接円の面積	\(A = \pi R^2\)	外接円で囲まれた面積
円周	\(C = 2\pi R\)	外接円の周の長さ
内接円の半径	\(r = \frac{K}{s}\)	内接する円の半径
オイラーの距離	\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)	外心と内心の間の距離

三角形のタイプ別外心の位置

外心の位置は三角形の種類によって異なります。

鋭角三角形: 外心は三角形の内部にあります。すべての角度が 90° 未満であるため、垂直二等分線は三角形の内側で交差します。
直角三角形: 外心は斜辺の中点に位置します。外接円の半径は斜辺の長さの半分に等しくなります。
鈍角三角形: 外心は三角形の外部、鈍角の反対側にあります。これは、垂直二等分線が外側に広がるためです。

外接円の求め方

入力方法を選択する: 辺の長さ a, b, c がわかっている場合は「3辺」を、各頂点の座標がわかっている場合は「3頂点」を選択します。
値を入力する: 3辺の長さ、または頂点 A, B, C の (x, y) 座標を入力します。クイック例をクリックしてサンプル値を自動入力することもできます。
計算をクリックする: 「外接円を計算する」ボタンを押します。
結果を確認する: 外接円の半径 R、外心座標、外接円の面積と円周、三角形の面積、角度、内接円の半径、および R/r 比率を確認します。
図解を探索する: 外接円、垂直二等分線、半径、内接円、ラベルなどのオーバーレイを切り替えて、幾何学的構造を視覚化します。

実用的な応用

外接円は多くの分野で重要な応用があります。測量とナビゲーションでは、三角測量を用いて位置を特定するのに役立ちます。コンピュータグラフィックスでは、ドロネー三角形分割において、どの頂点も他の三角形の外接円の内部に含まれないようにすることで、最小角を最大化します。エンジニアリングでは、三角形の部品の最小包含境界を定義する際に外接円が使用されます。また、外接円はメッシュ生成やボロノイ図などの計算幾何学アルゴリズムにおいても基礎となる概念です。

オイラーの定理と外接円

オイラーの不等式によれば、任意の三角形において、外接円の半径 R は内接円の半径 r の少なくとも2倍（R ≥ 2r）です。等号が成立するのは正三角形の場合のみです。さらに、オイラーの公式は外心 O と内心 I の距離 d を \(d^2 = R(R - 2r)\) として関連付けています。この優雅な結果は、三角形に関連する最も基本的な2つの円を繋ぎ、三角形の幾何学の深い性質を明らかにしています。