連分数電卓

連分数電卓へようこそ。この強力なツールは、あらゆる小数、分数、または平方根を連分数表現に変換します。有名な表記法 [a₀; a₁, a₂, ...] を確認し、有理近似（近似分数）を探索し、入れ子構造の分数をインタラクティブに視覚化できます。

連分数とは何ですか？

連分数とは、整数部分と分数の入れ子になったシーケンスとして数値を表現する方法です：

ここで a₀, a₁, a₂, ... は部分商と呼ばれる非負の整数です。標準的な表記法は [a₀; a₁, a₂, a₃, ...] です。注目すべき例：

• π (円周率) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — 292 という数値は、円周率が 355/113 によって極めて正確に近似されることを意味します
• φ (黄金比) = [1; 1, 1, 1, ...] — 最も収束が遅い連分数
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — ラグランジュの定理により、周期性を持ちます
• e (ネイピア数) = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — 美しいパターンを持ちます

アルゴリズムの仕組み

任意の小数 x の場合

1. a₀ = ⌊x⌋ (x の床関数) を計算します
2. x₁ = 1/(x − a₀) とし、次に a₁ = ⌊x₁⌋ を計算します
3. 繰り返し: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. 小数部分がゼロになる（有理数）か、必要な項数が得られたら停止します

分数 p/q の場合（ユークリッド互除法）

分数の場合、アルゴリズムは最大公約数を求めるためのユークリッド互除法と同一です：

ユークリッド互除法の各割り算ステップが、連分数の部分商を一つずつ生成します。

近似分数：最良有理近似

近似分数 pₙ/qₙ は、連分数を各ステップで打ち切ることで得られます。これらは驚くべき特性を満たしています：pₙ/qₙ は、分母が qₙ 以下の分数の中で、x に対する最良の有理近似となります。

循環連分数

ラグランジュの定理により、実数が循環連分数を持つのは、その数が二次無理数（整数係数の二次方程式の解）である場合のみです。これには、完全平方数ではない整数のすべての平方根が含まれます。

• √2 = [1; 2] — 周期の長さ 1
• √3 = [1; 1, 2] — 周期の長さ 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — 周期の長さ 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — 周期の長さ 16

この電卓の使い方

1. 値を入力する: 小数（例: 2.71828）、分数（例: 355/113）、または平方根（例: sqrt(7)）
2. 最大項数を設定する: 項数を増やすと、より多くの部分商と近似分数が表示されます
3. 「計算する」をクリック: 連分数表記、アニメーション表示される項、入れ子構造の視覚化、近似分数テーブル、およびユークリッド互除法のステップ（分数の場合）が表示されます

よくある質問

連分数とは何ですか？

連分数とは、a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) という形式の式で、a₀, a₁, a₂, ... は部分商と呼ばれる整数です。すべての実数は連分数展開を持ちます。有理数は有限の展開を持ち、無理数は無限の展開を持ちます。二次無理数（平方根など）は循環展開を持ちます。

小数を連分数に変換するにはどうすればよいですか？

整数部分（床関数）を最初の項として取り出します。その値を元の数から引き、逆数を取って繰り返します。例えば π ≈ 3.14159... の場合：整数部分 = 3、余り = 0.14159...、逆数 = 7.062...、整数部分 = 7、余り = 0.062...、逆数 = 15.996...、整数部分 = 15、となり [3; 7, 15, ...] が得られます。

なぜ sqrt(2) は循環連分数になるのですか？

ラグランジュの定理により、実数が循環連分数を持つのは、それが二次無理数である時だけです。√2 は x² = 2 を満たすため二次無理数であり、[1; 2, 2, 2, ...] となります。黄金比 φ = (1 + √5)/2 は [1; 1, 1, 1, ...] という最も単純な周期を持ちます。

近似分数（Convergents）とは何で、なぜ重要なのですか？

近似分数とは、連分数を途中で打ち切って得られる分数のことです。これらは最良有理近似であり、それより分母の小さい分数で、その数値により近いものは存在しません。22/7 や 355/113 が π の近似値として有名なのは、それらが π の連分数の近似分数だからです。

連分数アルゴリズムはユークリッド互除法とどのように関係していますか？

入力が分数 p/q の場合、その連分数を計算することはユークリッドの最大公約数アルゴリズムと同じです。余りと商を求める各ステップが、正確に一つの部分商を生成します。最大公約数が見つかった時点で連分数は終了します。

追加リソース

• 連分数 - Wikipedia
• 近似分数 - Wikipedia (英語)
• ユークリッドの互除法 - Wikipedia