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ネットワークフロー電卓最大フロー

Ford-Fulkerson法（Edmonds-Karp）を使用して、容量付き有向ネットワーク内のソースからシンクへの最大フローを計算します。すべての増加道をアニメーションで表示し、残余容量、飽和エッジ、および最適性を証明する最小カット・パーティションを表示します。

ネットワークフロー電卓最大フロー
クイック例:
教科書の例 (6ノード) 小規模ネットワーク 定番の CLRS 二部グラフ風 行列入力
エッジ形式: A -> B : 10 (矢印と容量)、または A, B, 10。
行列形式: 1行に1行ずつ。C[i][j] はエッジ i → j の容量です（エッジがない場合は 0 を使用）。対角成分は 0 である必要があります。
カンマまたはスペース区切りのラベル。行列の各行に対応します。省略時は S, A, B, …, T になります。

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ネットワークフロー電卓最大フロー

ネットワークフロー電卓最大フローは、任意の容量付き有向ネットワークにおいて、選択した始点（ソース）s から終点（シンク）t への最大フローを計算します。内部では幅優先探索による増加道を用いた Ford-Fulkerson 法（Edmonds-Karp アルゴリズム）を実行し、見つかったすべてのパスを記録します。これにより、意思決定プロセスを1回ずつの反復でリプレイして確認できます。また、結果ページには最小カット（フロー値が真に最適であることを証明するボトルネックの分割）も表示されます。

最大フロー問題とは？

フローネットワークとは、有向グラフ G = (V, E) と容量関数 c: E → ℝ≥0 の組み合わせです。2つの頂点が区別されます：フローが湧き出すソース s と、フローが吸収されるシンク t です。フロー f は、以下の規則に従うエッジへの値 f(u, v) ≥ 0 の割り当てです：

容量制約: 0 ≤ f(u, v) ≤ c(u, v) （すべてのエッジ (u, v) に対して） 流量保存: Σ f(w, v) = Σ f(v, w) （s, t 以外のすべての v ∈ V に対して） フロー値: |f| = Σ f(s, w) − Σ f(w, s) （s から流出する正味のフロー）

最大フロー問題は、このフロー値 |f| を最大化するフロー f を求めるものです。直感的に言えば、エッジが所定の容量を持つ水道管であるとき、s から t へ毎秒何リットルの水を送れるかという問題です。

アルゴリズムの仕組み — BFS を用いた Ford-Fulkerson

このアルゴリズムは、現在のフローと並行して残余グラフを保持します。容量 c、現在のフロー f の各エッジ (u, v) に対して、残余グラフには以下が含まれます：

各反復において、残余グラフ上で s から t への幅優先探索（BFS）を実行します。パスが見つかった場合、そのパス上の最小のエッジ容量（ボトルネック）を、パスに沿った各順方向エッジのフローに加え、逆方向エッジのフローから差し引きます。これを増加道と呼びます。BFS で t に到達できなくなったとき、現在のフローが最適となります。

残余グラフ内に s から t への増加道 P が存在する間： b ← P 内のエッジ (u, v) における最小の c_residual(u, v) P に沿って b 単位のフローを流す // 残余グラフとフローを更新 合計フロー |f| を返す

（任意のパス選択ではなく）BFS を使用することで、Ford-Fulkerson 法は Edmonds-Karp アルゴリズムとなり、実行時間は O(V · E²) に抑えられることが保証されます。また、通常の Ford-Fulkerson では対応できない無理数の容量に対しても、必ず終了することが保証されます。

最大フロー最小カット定理

カットとは、頂点集合を s ∈ S かつ t ∈ T となる2つの集合 (S, T) に分割することです。その容量は、S から T へ向かうエッジの容量の合計です：

cap(S, T) = Σ c(u, v) （u ∈ S, v ∈ T に対して）

最大フロー最小カット定理 (Ford & Fulkerson, 1956) によれば：

最大フロー値 = 最小カット容量

このツールは最小カットを自動的に検出します。Edmonds-Karp が終了した後、残余グラフ上で s からもう一度 BFS を実行します。到達できた頂点が S を構成し、残りが T となります。元のグラフで S → T を横断するすべてのエッジは飽和しており、それらの容量の合計は最大フロー値と正確に一致します。これは結果の「最小カット容量 ✓ 最適性が確認されました」として表示されます。

学習のための機能

入力形式

1. 容量付きエッジリスト

1行に1つのエッジを入力します。矢印形式が最も読みやすいですが、いくつかの代替形式も可能です：

S -> A : 10 S -> B : 13 A -> B : 10 B -> A : 4 B -> T : 14

他にも A, B, 10 ・ A B 10 ・ A -> B , 10 などが受け付けられます。同じペアの間に複数のエッジがある場合は合算されます。

2. 容量行列

1行に1行ずつ、スペースまたはカンマで区切った値を入力します。項目 C[i][j] は頂点 i から 頂点 j へのエッジの容量です。エッジがない場合は 0 を使用してください。行列は正方行列である必要があり、対角成分は 0（自己ループなし）である必要があります。

S A B C D T S [ 0 10 0 10 0 0 ] A [ 0 0 4 2 8 0 ] B [ 0 0 0 0 0 10 ] C [ 0 0 0 0 9 0 ] D [ 0 0 6 0 0 10 ] T [ 0 0 0 0 0 0 ]

行列ラベルフィールドに、対応する頂点ラベルを（カンマまたはスペース区切りで）入力してください。省略した場合、ラベルはデフォルトで S, A, B, …, T になります。

最大フローの応用例

分野最大フローの活用方法
輸送と物流鉄道、道路、パイプラインのネットワークで、出発地から目的地まで1日にどれだけの貨物を運べるか？
二部マッチング労働者への仕事の割り当て、学生へのプロジェクトの割り当てなど。容量1の最大フローにより最大マッチングが得られます。
画像セグメンテーションコンピュータビジョンの Boykov–Kolmogorov 最小カットにより、前景ピクセルと背景ピクセルを分離します。
ネットワークの信頼性最小カットにより、切断されるとネットワークが分断されてしまう「最も弱いリンク」を特定します。
プロジェクトのスケジューリング閉包問題や選択問題は最小カットに還元できます。
野球の脱落決定チームが数学的にリーグ優勝の可能性がなくなったかどうかを判定します。

実行例

「教科書」のクイック例は、ソース S とシンク T を持つ6ノードのネットワークです。Edmonds-Karp を実行すると、4つの増加道が見つかります：

  1. S → A → B → T：ボトルネック 4（エッジ A-B が制限）。累積フロー: 4。
  2. S → A → D → T：ボトルネック 6。累積フロー: 10。
  3. S → C → D → T：ボトルネック 4（エッジ D-T が制限、残り 4）。累積フロー: 14。
  4. S → C → D → B → T：ボトルネック 5。累積フロー: 19。

これ以上増加道が存在しないため、アルゴリズムは停止します。最小カットは (S = {S, C}, T = {A, B, D, T}) であり、境界エッジは S → A (容量 10) と C → D (容量 9) です。これらを合計すると 19 となり、最大フロー値と一致します。

この電卓の使い方

  1. タブを使用して入力形式を選択します（エッジリスト推奨、または容量行列）。
  2. ネットワークを入力します。 クイック例から開始して変更することもできます。行列入力の場合、S, A, B, …, T 以外の名前を使いたい場合はラベルも入力してください。
  3. ソースとシンクを指定します（空欄にすると S と T を自動検出します）。
  4. 最大フローを計算をクリック。 結果ページに最大フロー値、最小カット分割、レイヤードグラフ可視化、すべての増加道、エッジ利用率テーブル、および3つの行列（容量、フロー、残余）が表示されます。
  5. グラフの下にあるアニメーションを再生して、アルゴリズムの決定プロセスを確認します。任意の増加道のステップをクリックすると、その時点へ直接ジャンプできます。

制限事項

よくある質問

最大フロー問題とは何ですか？

各エッジに非負の容量がある有向ネットワークにおいて、指定された始点（ソース）s から終点（シンク）t へ、各エッジのフローがその容量を超えず、かつソースとシンク以外の各頂点に流入するフローと流出するフローが等しいという規則に従って、どれだけのフローを送り出せるかを問う問題です。その答えを最大フロー値と呼びます。

Ford-Fulkerson 法とは何ですか？

Ford-Fulkerson は最大フローを計算するための一般的な手法です。残余グラフ内でソースからシンクへの増加道を繰り返し見つけ、そのパスに沿って可能な限りのフロー（ボトルネック容量）を押し出し、残余グラフを更新します。増加道が存在しなくなった時点で処理は終了します。パスの選択に幅優先探索（BFS）を使用する場合、それは Edmonds-Karp アルゴリズムと呼ばれ、O(V · E²) の時間で動作します。

フローネットワークの最小カットとは何ですか？

カットとは、頂点をソースを含む集合 S とシンクを含む集合 T の2つに分割することです。カットの容量は、S から T へのエッジの容量の合計です。最小カットとは、最小の容量を持つカットのことです。有名な最大フロー最小カット定理は、最大フロー値が常に最小カット容量と等しいことを証明しており、一方を見つければもう一方も自動的に得られます。

残余グラフとは何ですか？

残余グラフは、各エッジにあとどれだけフローを流せるかを追跡するものです。容量 c、現在のフロー f の元のエッジ (u, v) に対して、残余グラフには容量 c - f の順方向エッジ (u, v)（残りの容量）と、容量 f の逆方向エッジ (v, u)（キャンセル可能なフロー）が含まれます。増加道は残余グラフのエッジを使用するため、アルゴリズムは以前の決定を取り消すことができます。

なぜこのツールは増加道に BFS を使用するのですか？

幅優先探索（Edmonds-Karp）で増加道を選択することで、エッジの容量に関係なく多項式時間での終了が保証されます。任意のパス選択戦略を用いる通常の Ford-Fulkerson では、特殊な入力に対して指数関数的な反復回数ループしたり、無理数の容量に対して終了しなかったりすることがあります。また、BFS は最短の増加道を生成するため、読みやすく理解しやすくなります。

飽和したエッジとはどういう意味ですか？

エッジのフローがその容量と等しくなり、それ以上フローを流せなくなった状態を「飽和」と呼びます。飽和したエッジはネットワークのボトルネックであり、すべての最小カットは、カットの S 側から T 側に向かう飽和エッジのみで構成されます。ツールでは飽和エッジを赤色でハイライトし、ボトルネックの構造を一目で確認できるようにしています。

参考文献

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：

"ネットワークフロー電卓最大フロー"（https://MiniWebtool.com/ja/ネットワークフロー電卓最大フロー/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool チーム. 更新日: 2026年4月22日

また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。

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