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ネットワークフロー電卓最大フロー

容量制約のある有向ネットワークにおける始点から終点への最大流を、Edmonds-Karp法によるFord-Fulkersonアルゴリズムで計算します。すべての増加路をアニメーション表示し、残余容量、飽和辺、証明となる最小カットも示します。

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クイック例:
教科書の例 (6ノード) 小規模ネットワーク 定番の CLRS 二部グラフ風 行列入力
エッジ形式: A -> B : 10 (矢印と容量)、または A, B, 10。
行列形式: 1行に1行ずつ。C[i][j] はエッジ i → j の容量です（エッジがない場合は 0 を使用）。対角成分は 0 である必要があります。
カンマまたはスペース区切りのラベル。行列の各行に対応します。省略時は S, A, B, …, T になります。

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ネットワークフロー電卓最大フロー

ネットワークフロー電卓最大フローは、任意の容量付き有向ネットワークにおいて、選択した始点（ソース）s から終点（シンク）t への最大フローを計算します。内部では幅優先探索による増加道を用いた Ford-Fulkerson 法（Edmonds-Karp アルゴリズム）を実行し、見つかったすべてのパスを記録します。これにより、意思決定プロセスを1回ずつの反復でリプレイして確認できます。また、結果ページには最小カット（フロー値が真に最適であることを証明するボトルネックの分割）も表示されます。

最大フロー問題とは？

フローネットワークとは、有向グラフ G = (V, E) と容量関数 c: E → ℝ≥0 の組み合わせです。2つの頂点が区別されます：フローが湧き出すソース s と、フローが吸収されるシンク t です。フロー f は、以下の規則に従うエッジへの値 f(u, v) ≥ 0 の割り当てです：

容量制約: 0 ≤ f(u, v) ≤ c(u, v) （すべてのエッジ (u, v) に対して） 流量保存: Σ f(w, v) = Σ f(v, w) （s, t 以外のすべての v ∈ V に対して） フロー値: |f| = Σ f(s, w) − Σ f(w, s) （s から流出する正味のフロー）

最大フロー問題は、このフロー値 |f| を最大化するフロー f を求めるものです。直感的に言えば、エッジが所定の容量を持つ水道管であるとき、s から t へ毎秒何リットルの水を送れるかという問題です。

アルゴリズムの仕組み — BFS を用いた Ford-Fulkerson

このアルゴリズムは、現在のフローと並行して残余グラフを保持します。容量 c、現在のフロー f の各エッジ (u, v) に対して、残余グラフには以下が含まれます：

各反復において、残余グラフ上で s から t への幅優先探索（BFS）を実行します。パスが見つかった場合、そのパス上の最小のエッジ容量（ボトルネック）を、パスに沿った各順方向エッジのフローに加え、逆方向エッジのフローから差し引きます。これを増加道と呼びます。BFS で t に到達できなくなったとき、現在のフローが最適となります。

残余グラフ内に s から t への増加道 P が存在する間： b ← P 内のエッジ (u, v) における最小の c_residual(u, v) P に沿って b 単位のフローを流す // 残余グラフとフローを更新 合計フロー |f| を返す

（任意のパス選択ではなく）BFS を使用することで、Ford-Fulkerson 法は Edmonds-Karp アルゴリズムとなり、実行時間は O(V · E²) に抑えられることが保証されます。また、通常の Ford-Fulkerson では対応できない無理数の容量に対しても、必ず終了することが保証されます。

最大フロー最小カット定理

カットとは、頂点集合を s ∈ S かつ t ∈ T となる2つの集合 (S, T) に分割することです。その容量は、S から T へ向かうエッジの容量の合計です：

cap(S, T) = Σ c(u, v) （u ∈ S, v ∈ T に対して）

最大フロー最小カット定理 (Ford & Fulkerson, 1956) によれば：

最大フロー値 = 最小カット容量

このツールは最小カットを自動的に検出します。Edmonds-Karp が終了した後、残余グラフ上で s からもう一度 BFS を実行します。到達できた頂点が S を構成し、残りが T となります。元のグラフで S → T を横断するすべてのエッジは飽和しており、それらの容量の合計は最大フロー値と正確に一致します。これは結果の「最小カット容量 ✓ 最適性が確認されました」として表示されます。

学習のための機能

入力形式

1. 容量付きエッジリスト

1行に1つのエッジを入力します。矢印形式が最も読みやすいですが、いくつかの代替形式も可能です：

S -> A : 10 S -> B : 13 A -> B : 10 B -> A : 4 B -> T : 14

他にも A, B, 10 ・ A B 10 ・ A -> B , 10 などが受け付けられます。同じペアの間に複数のエッジがある場合は合算されます。

2. 容量行列

1行に1行ずつ、スペースまたはカンマで区切った値を入力します。項目 C[i][j] は頂点 i から 頂点 j へのエッジの容量です。エッジがない場合は 0 を使用してください。行列は正方行列である必要があり、対角成分は 0（自己ループなし）である必要があります。

S A B C D T S [ 0 10 0 10 0 0 ] A [ 0 0 4 2 8 0 ] B [ 0 0 0 0 0 10 ] C [ 0 0 0 0 9 0 ] D [ 0 0 6 0 0 10 ] T [ 0 0 0 0 0 0 ]

行列ラベルフィールドに、対応する頂点ラベルを（カンマまたはスペース区切りで）入力してください。省略した場合、ラベルはデフォルトで S, A, B, …, T になります。

最大フローの応用例

分野最大フローの活用方法
輸送と物流鉄道、道路、パイプラインのネットワークで、出発地から目的地まで1日にどれだけの貨物を運べるか？
二部マッチング労働者への仕事の割り当て、学生へのプロジェクトの割り当てなど。容量1の最大フローにより最大マッチングが得られます。
画像セグメンテーションコンピュータビジョンの Boykov–Kolmogorov 最小カットにより、前景ピクセルと背景ピクセルを分離します。
ネットワークの信頼性最小カットにより、切断されるとネットワークが分断されてしまう「最も弱いリンク」を特定します。
プロジェクトのスケジューリング閉包問題や選択問題は最小カットに還元できます。
野球の脱落決定チームが数学的にリーグ優勝の可能性がなくなったかどうかを判定します。

実行例

「教科書」のクイック例は、ソース S とシンク T を持つ6ノードのネットワークです。Edmonds-Karp を実行すると、4つの増加道が見つかります：

  1. S → A → B → T：ボトルネック 4（エッジ A-B が制限）。累積フロー: 4。
  2. S → A → D → T：ボトルネック 6。累積フロー: 10。
  3. S → C → D → T：ボトルネック 4（エッジ D-T が制限、残り 4）。累積フロー: 14。
  4. S → C → D → B → T：ボトルネック 5。累積フロー: 19。

これ以上増加道が存在しないため、アルゴリズムは停止します。最小カットは (S = {S, C}, T = {A, B, D, T}) であり、境界エッジは S → A (容量 10) と C → D (容量 9) です。これらを合計すると 19 となり、最大フロー値と一致します。

この電卓の使い方

  1. タブを使用して入力形式を選択します（エッジリスト推奨、または容量行列）。
  2. ネットワークを入力します。 クイック例から開始して変更することもできます。行列入力の場合、S, A, B, …, T 以外の名前を使いたい場合はラベルも入力してください。
  3. ソースとシンクを指定します（空欄にすると S と T を自動検出します）。
  4. 最大フローを計算をクリック。 結果ページに最大フロー値、最小カット分割、レイヤードグラフ可視化、すべての増加道、エッジ利用率テーブル、および3つの行列（容量、フロー、残余）が表示されます。
  5. グラフの下にあるアニメーションを再生して、アルゴリズムの決定プロセスを確認します。任意の増加道のステップをクリックすると、その時点へ直接ジャンプできます。

制限事項

よくある質問

最大フロー問題とは何ですか？

各エッジに非負の容量がある有向ネットワークにおいて、指定された始点（ソース）s から終点（シンク）t へ、各エッジのフローがその容量を超えず、かつソースとシンク以外の各頂点に流入するフローと流出するフローが等しいという規則に従って、どれだけのフローを送り出せるかを問う問題です。その答えを最大フロー値と呼びます。

Ford-Fulkerson 法とは何ですか？

Ford-Fulkerson は最大フローを計算するための一般的な手法です。残余グラフ内でソースからシンクへの増加道を繰り返し見つけ、そのパスに沿って可能な限りのフロー（ボトルネック容量）を押し出し、残余グラフを更新します。増加道が存在しなくなった時点で処理は終了します。パスの選択に幅優先探索（BFS）を使用する場合、それは Edmonds-Karp アルゴリズムと呼ばれ、O(V · E²) の時間で動作します。

フローネットワークの最小カットとは何ですか？

カットとは、頂点をソースを含む集合 S とシンクを含む集合 T の2つに分割することです。カットの容量は、S から T へのエッジの容量の合計です。最小カットとは、最小の容量を持つカットのことです。有名な最大フロー最小カット定理は、最大フロー値が常に最小カット容量と等しいことを証明しており、一方を見つければもう一方も自動的に得られます。

残余グラフとは何ですか？

残余グラフは、各エッジにあとどれだけフローを流せるかを追跡するものです。容量 c、現在のフロー f の元のエッジ (u, v) に対して、残余グラフには容量 c - f の順方向エッジ (u, v)（残りの容量）と、容量 f の逆方向エッジ (v, u)（キャンセル可能なフロー）が含まれます。増加道は残余グラフのエッジを使用するため、アルゴリズムは以前の決定を取り消すことができます。

なぜこのツールは増加道に BFS を使用するのですか？

幅優先探索（Edmonds-Karp）で増加道を選択することで、エッジの容量に関係なく多項式時間での終了が保証されます。任意のパス選択戦略を用いる通常の Ford-Fulkerson では、特殊な入力に対して指数関数的な反復回数ループしたり、無理数の容量に対して終了しなかったりすることがあります。また、BFS は最短の増加道を生成するため、読みやすく理解しやすくなります。

飽和したエッジとはどういう意味ですか？

エッジのフローがその容量と等しくなり、それ以上フローを流せなくなった状態を「飽和」と呼びます。飽和したエッジはネットワークのボトルネックであり、すべての最小カットは、カットの S 側から T 側に向かう飽和エッジのみで構成されます。ツールでは飽和エッジを赤色でハイライトし、ボトルネックの構造を一目で確認できるようにしています。

参考文献

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合：

"ネットワークフロー電卓最大フロー"（https://MiniWebtool.com/ja/ネットワークフロー電卓最大フロー/）、MiniWebtool、https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool チーム. 更新日: 2026年4月22日

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