テンソル積電卓

テンソル積電卓

このテンソル積計算機は、クロネッカー積としても知られる行列のテンソル積 A ⊗ B を計算します。長方形行列に対応し、可能な限り正確な有理数演算を維持し、行列Aの各要素が行列B全体の完全なスケーリング・コピーに展開されるという定義ブロック構造を視覚化します。

テンソル積の公式

A が m × n 行列で、B が p × q 行列である場合、A ⊗ B は mp × nq 行列になります。ブロック形式は以下の通りです：

同様に、各要素は以下のようにインデックスされます：

この電卓の使い方

• 行列 A を1行につき1行、要素の間にはスペースまたはカンマを使用して入力します。
• 行列 B を同じ形式で入力します。行列 A と行列 B はどちらも長方形行列でも構いません。
• 記号的な作業には「正確な分数」出力を、コンパクトな数値結果には「小数」出力を選択します。
• テンソル積を計算をクリックして、結果の行列、次元、ブロック展開、およびコピー可能な形式を表示します。

テンソル積と行列の乗算の比較

重要な性質

双線形性

テンソル積は、行列の加算とスカラー乗算に対して分配法則が成り立ちます：(A + C) ⊗ B = A ⊗ B + C ⊗ B および (kA) ⊗ B = k(A ⊗ B)。

混合積の性質

通常の行列の積が定義されている場合、クロネッカー積は以下の式を満たします：

この恒等式は、テンソル積が構造化された線形システムや分離可能な演算子に有用である理由の1つです。

転置と逆行列

転置は (A ⊗ B)^T = A^T ⊗ B^T に従います。両方の正方行列が可逆である場合、(A ⊗ B)⁻¹ = A⁻¹ ⊗ B⁻¹ となります。

テンソル積が使用される分野

• 量子計算: マルチ量子ビットゲートと複合量子状態はクロネッカー積で表現されます。
• 信号および画像処理: 分離可能なフィルタや2次元変換では、しばしばテンソル積構造が使われます。
• 数値線形代数: 大規模な構造化行列は、クロネッカー因子を使用して効率的に保存または適用できます。
• グラフ理論: グラフ積の隣接行列は、多くの場合クロネッカー形式の演算を通じて表現されます。
• 統計学と機械学習: 共分散構造、ガウス過程、多次元格子などでテンソル積行列が利用されます。

FAQ

2つの行列のテンソル積とは何ですか？

m×nサイズの行列Aとp×qサイズの行列Bについて、テンソル積 A ⊗ B は、Aの各要素 a_ij をスケーリングされたブロック a_ijB に置き換えることによって形成される mp×nq のブロック行列です。

テンソル積はクロネッカー積と同じですか？

有限行列の場合、テンソル積とクロネッカー積という用語は、一般的に同じブロック行列演算に対して使用されます。記号 A ⊗ B は、線形代数、量子計算、信号処理、および数値解法において標準的です。

A ⊗ B のサイズは？

Aがm行n列、Bがp行q列の場合、A ⊗ B は mp行nq列になります。Aのすべての行はp行に拡張され、Aのすべての列はq列に拡張されます。

A ⊗ B において順序は重要ですか？

はい。一般的に A ⊗ B は B ⊗ A と同じ行列ではありません（2つの積は関連するスケーリングされたブロックを含んでいますが）。順序によって、行と列のインデックスがどのように配置されるかが決まります。

この電卓で分数は使えますか？

はい。1/2、-3/4、0.25、2e-3 などの入力が可能です。正確な分数モードでは、テンソル積全体を通じて有理数の値を正確に保ちます。