三次方程式ソルバー

カルダノの公式を使用して、三次方程式 ax³+bx²+cx+d=0 を解きます。3つの解（実数および複素数）、ステップバイステップの解決策、判別式の分析、およびインタラクティブなグラフを取得します。

三次方程式ソルバー

この 三次方程式ソルバー は、ax³ + bx² + cx + d = 0 の形式の任意の三次方程式の3つの解すべてを求めます。4つの係数を入力すると、カルダノの方法を使用したステップバイステップの解法、判別式分析、因数分解形式、ヴィエタの公式（根と係数の関係）、およびインタラクティブなグラフですぐに結果が表示されます。

三次方程式ソルバーの使い方

係数を入力する: 三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の a, b, c, d の値を入力します。係数 a は 0 であってはなりません。
「三次方程式を解く」をクリック して、3つの解すべてを計算します。
解を確認する: 各解は、実数か複素数かを示すラベルと共に表示されます。実数解は緑色のカード、複素数解は青色のカードに表示されます。
ステップバイステップの解法を学習する: 還元三次方程式への変換、判別式の計算、根の抽出など、カルダノの方法による完全な導出過程を確認します。
グラフを探索する: 実数解が緑色、変曲点がオレンジ色でマークされた三次関数のプロットを表示します。

三次方程式とは何ですか？

三次方程式 とは、次数が3の多項式方程式です。

\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)

ここで \(a \neq 0\) です。代数学の基本定理 により、すべての三次方程式には（重複を含めて）ちょうど3つの解があり、それらは実数または複素数になります。

カルダノの公式

1545年にジェロラモ・カルダノによって発表されましたが（実際にはそれ以前にシピオーネ・デル・フェロやニコロ・タルタリアによって発見されていました）、この方法は以下のように機能します。

三次方程式の還元: \(x = t - \frac{b}{3a}\) を代入して \(x^2\) の項を消去し、\(t^3 + pt + q = 0\) を導きます。
p と q の計算: \(p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}\)、\(q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\)
公式の適用: \(t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}\)

判別式

判別式 \(\Delta = -4p^3 - 27q^2\) は、解の性質を決定します。

\(\Delta > 0\): 3つの異なる実数解（三角関数/ヴィエタの方法を使用）
\(\Delta = 0\): 少なくとも2つの等しい解（重解が存在）
\(\Delta < 0\): 1つの実数解と2つの共役複素数解

三次方程式のヴィエタの公式

\(x_1, x_2, x_3\) を ax³ + bx² + cx + d = 0 の3つの解とすると、以下の関係が成り立ちます。

\(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\) (解の和)
\(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}\) (2つの解の積の和)
\(x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}\) (解の積)

特殊なケース

還元三次方程式 (\(b = 0\)): \(x^3 + cx + d = 0\) — すでに簡略化された形式です。
純三次方程式 (\(b = c = 0\)): \(ax^3 + d = 0\) — 解は \(x = \sqrt[3]{-d/a}\) です。
立方の和/差: \(x^3 \pm k^3 = (x \pm k)(x^2 \mp kx + k^2)\)

三次方程式の応用

工学: 梁のたわみ、応力解析、制御システム
物理学: ケプラー方程式、状態方程式（ファン・デル・ワールス）
経済学: コストの最適化、需給均衡モデル
コンピュータグラフィックス: ベジェ曲線、スプライン補間
化学: 弱酸/弱塩基を含むpH計算

よくある質問 (FAQ)

三次方程式とは何ですか？

三次方程式とは、次数が3の多項式方程式で、ax³ + bx² + cx + d = 0（aは0ではない）の形式で書かれます。すべての三次方程式にはちょうど3つの解があり、それらは実数または複素数になります。

カルダノの公式はどのように機能しますか？

カルダノの公式は、まず置換によって方程式を還元三次方程式（x²の項がない形式）に変換し、次に立方根を含む公式を適用することで三次方程式を解きます。還元三次方程式 t³ + pt + q = 0 は、t = cube_root(-q/2 + sqrt(q²/4 + p³/27)) + cube_root(-q/2 - sqrt(q²/4 + p³/27)) を使用して解かれます。

三次方程式の判別式は何を示していますか？

判別式は解の性質を決定します。正の場合、3つの異なる実数解があります。ゼロの場合、重解があります。負の場合、1つの実数解と2つの共役複素数解があります。

三次方程式の解がすべて複素数になることはありますか？

いいえ。実数係数を持つすべての三次方程式には、少なくとも1つの実数解があります。複素数解は常に共役なペアで現れるため、三次方程式には3つの実数解があるか、1つの実数解と2つの共役複素数解があるかのどちらかになります。

三次方程式のヴィエタの公式とは何ですか？

ヴィエタの公式は解と係数を結びつけます。解を r1, r2, r3 とする ax³ + bx² + cx + d = 0 の場合、解の和は -b/a、2つの解の積の和は c/a、すべての解の積は -d/a に等しくなります。

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"三次方程式ソルバー"（https://MiniWebtool.com/ja/三次方程式ソルバー/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

miniwebtool.com チーム作成。最終更新日: 2026-03-29

開発者向け API が利用できます: このツールをアプリ、自動化、エージェントから 1 回の JSON HTTP リクエストで実行できます。 API ドキュメントを見る

また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。

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よくある質問 (FAQ)

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カルダノの公式はどのように機能しますか？

三次方程式の判別式は何を示していますか？

三次方程式の解がすべて複素数になることはありますか？

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