シンプソン則電卓

MiniWebtoolのシンプソン則計算ツールで積分値を近似できます。1/3則または3/8則と分割数を選ぶと、放物線による図解、計算手順、誤差または収束の推定を確認できます。

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MiniWebtoolの「シンプソン則電卓」の使い方を知りたいです：https://miniwebtool.com/ja/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%82%BD%E3%83%B3%E5%89%87%E8%A8%88%E7%AE%97%E6%A9%9F/。どんな用途に使えますか。必要な入力や設定、操作手順、結果の読み方を、簡単な例を1つ使って順に説明してください。このページを情報源にして、日本語で回答してください。

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シンプソンの公式は放物線を当てはめるので、直線の弦よりずっと正確

下に f(x)、積分区間、n を入力すると、シンプソンの 1/3 公式または 3/8 公式による近似値が、誤差の見積もり、収束表、途中の手順とともに表示されます。

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シンプソン則電卓

シンプソン則計算機は、サンプル点を通して放物線曲線（1/3則）または3次曲線（3/8則）を当てはめることにより、定積分を近似する強力な数値積分ツールです。点の間を直線で結ぶ台形公式とは異なり、シンプソン則は関数の曲率を捉えることで O(h⁴) の精度を実現します。これは微分積分学、工学、科学計算において最も広く使用されている手法の一つです。

一目でわかる

シンプソン則電卓は、選択した小区間数で1/3則または3/8則を使い、定積分を近似します。手順、放物線による図、手法の比較、誤差上限を表示します。

シンプソン則電卓の機能一覧
機能	できること	向いている用途
2種類の則	1/3則（放物線、nは偶数）または3/8則（3次曲線、nは3の倍数）を選びます。不適切なnは自動調整されます。	nが偶数または3の倍数である必要がある積分
関数の入力	多項式、sin、cos、tan、exp、ln、log、sqrt、定数pi、eを使ったf(x)と、境界a、bを入力します。	閉形式の原始関数が分からない定積分
対話型の図	曲線の下に放物線区分を描き、カーソルを合わせると各区分の面積を表示します。収束をアニメーション表示するか、スライダーでnを最大50まで調整できます。	小区間を増やすと近似がどう改善するか見る
手法の比較	同じ関数と境界でシンプソン1/3則、3/8則、台形則、中点則の結果を並べます。	問題にどの方法が合うか判断する
誤差分析	1/3則の4階導関数から誤差上限\|E\| ≤ (b−a)^5 / (180n^4) × max\|f⁽⁴⁾\|と収束の見積もりを求めます。	近似がどれほど正確かを示す
計算例の手順	各則について、公式の係数を含む完全な段階解答を表示します。	微積分や数値解析の授業で計算過程を示す

主な機能

∿

2つの公式に対応

シンプソンの1/3則（2次補間、nは偶数）と3/8則（3次補間、nは3の倍数）から選択できます。どちらも MathJax による詳細なステップバイステップの解答が表示されます。

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インタラクティブな可視化

曲線の下に描かれた放物線セグメントを確認できます。ホバーすると個々のセグメントが強調表示され、その面積が表示されます。収束のアニメーション表示や、スライダーによる異なる n 値の探索も可能です。

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手法の比較

同じ関数と範囲に対して、シンプソンの1/3則、3/8則、台形公式、および中点公式の結果を自動的に並べて比較します。どの手法が最適な近似を与えるかを確認できます。

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誤差解析

4階導関数を使用した誤差限界の自動計算。誤差公式 $ |E_S| \leq \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| $ により、近似の正確さを正確に把握できます。

シンプソン則電卓の使い方

関数を入力する — x^2、sin(x)、exp(-x^2)、またはサポートされている関数の組み合わせなど、数学的な式 f(x) を入力します。
積分範囲を設定する — 下限 (a) と上限 (b) を入力し、部分区間の数 (n) を選択します。
公式を選択する — シンプソンの1/3則（nが偶数である必要があり、奇数の場合は自動調整されます）または3/8則（nが3の倍数である必要があり、自動調整されます）を選択します。
計算をクリックする — ツールが MathJax でレンダリングされた完全なステップバイステップの解答とともに近似値を計算します。
結果を確認する — 放物線の可視化を操作したり、セグメントごとの面積を確認したり、手法を比較したり、収束解析を学習したりします。

シンプソンの1/3則の解説

複合シンプソンの1/3則は、[a, b] を n 個の等しい部分区間（n は偶数である必要があります）に分割し、連続する3つの点ごとに放物線を当てはめます。

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

ここで $ \Delta x = \frac{b - a}{n} $ です。係数は 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1 というパターンに従います。各部分区間のペアは、3つの点を通る2次多項式を使用するため、線形補間よりもはるかに関数の曲率を適切に捉えることができます。

シンプソンの3/8則の解説

3/8則は、3つの部分区間のグループに対して3次補間を使用します（n は3の倍数である必要があります）。

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

係数は 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1 というパターンに従います。どちらの公式も O(h⁴) の精度を実現しますが、3/8則は n が偶数でない場合に有用です。

誤差の比較

シンプソン則電卓: 誤差の比較
手法	誤差のオーダー	誤差の限界	厳密に一致する対象
台形公式	$ O(h^2) $	$ \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| $	1次関数
シンプソンの1/3則	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| $	3次関数以下
シンプソンの3/8則	$ O(h^4) $	$ \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| $	3次関数以下

n を2倍にすると、台形公式では誤差が約4分の1になるのに対し、シンプソン則では誤差が約16分の1に減少します。これにより、滑らかな関数においてシンプソン則ははるかに速く収束します。

各公式の使い分け

シンプソンの1/3則 — ほとんどの用途に最適です。n が偶数である（または偶数にできる）場合に使用します。3つの基本的なニュートン・コーツの公式の中で、関数評価あたりの精度が最も高いです。
シンプソンの3/8則 — n が3の倍数であるが偶数でない場合に使用します。また、奇数個の部分区間を処理するために 1/3則と組み合わせた複合公式でも有用です。
台形公式 — データの間隔が不均等な場合、n が小さく奇数の場合、または精度よりも単純さが重要な場合に適しています。また、高階導関数に不連続点がある関数にも適しています。

対応している関数

この電卓は、幅広い数学関数をサポートしています。

多項式: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
三角関数: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
指数・対数関数: exp(x), ln(x), log(x)
根号: sqrt(x)
定数: pi, e
組み合わせ: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

よくある質問

シンプソン則とは何ですか？

シンプソン則は、サンプル点を通る放物線（または3次曲線）を当てはめることで定積分を近似する数値積分法です。滑らかな関数に対しては台形公式よりも大幅に精度が高く、誤差は台形公式の O(h²) に対して O(h⁴) のオーダーとなります。

シンプソンの1/3則と3/8則の違いは何ですか？

シンプソンの1/3則は、2つの部分区間ごとに2次（放物線）補間を使用し、偶数個の部分区間を必要とします。シンプソンの3/8則は、3つの部分区間ごとに3次補間を使用し、nが3の倍数であることを必要とします。一般的に同じnであれば1/3則の方が精度が高いですが、nが偶数でない場合には3/8則が有用です。

なぜシンプソンの1/3則は偶数個の部分区間が必要なのですか？

シンプソンの1/3則は、連続する3つの点（一度に2つの部分区間）に放物線を当てはめることで機能します。各放物線セグメントが正確に2つの部分区間にまたがるため、全体をカバーするには部分区間の総数が偶数である必要があります。

台形公式と比較してシンプソン則はどのくらい正確ですか？

シンプソンの1/3則の誤差は O(h⁴) ですが、台形公式は O(h²) です。これは、部分区間の数を2倍にすると、台形公式では誤差が約4分の1にしかならないのに対し、シンプソン則では約16分の1に減少することを意味します。滑らかな関数では、シンプソン則の方が圧倒的に正確です。

電卓にはどのような関数を入力できますか？

x^2 や x^3-2x+1 などの多項式、sin(x) や cos(x) などの三角関数、exp(x) や ln(x) などの指数・対数関数、sqrt(x) などの根号、およびそれらの組み合わせを入力できます。定数 pi や e もサポートされています。指数には ^ を使用し、標準的な関数表記を使用してください。

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合：

"シンプソン則電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/シンプソン則計算機/）、MiniWebtool、https://MiniWebtool.com/

miniwebtool チームによる提供。更新日: 2026-04-05

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手法	誤差のオーダー	誤差の限界	厳密に一致する対象
台形公式	\( O(h^2) \)	\( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max\|f''\| \)	1次関数
シンプソンの1/3則	\( O(h^4) \)	\( \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max\|f^{(4)}\| \)	3次関数以下
シンプソンの3/8則	\( O(h^4) \)	\( \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max\|f^{(4)}\| \)	3次関数以下