ヤコビ行列電卓

ヤコビ行列電卓

ヤコビ行列計算機は、あらゆるベクトル値多変数関数のヤコビ行列を計算します。\(F(x,y) = (x^2 + y,\; xy)\) のような変換成分を入力し、変数を指定し、必要に応じて特定の評価点を入力してください。このツールは、記号的なヤコビ行列、行列式、固有値、MathJax によるステップバイステップの解決策を返します。2×2 の場合には、線形変換が空間をどのように引き伸ばし、回転させ、せん断するかを示すインタラクティブなグリッド変形の可視化も表示されます。

ヤコビ行列とは？

ベクトル値関数 \(\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) のヤコビ行列とは、すべての1階偏微分を並べた \(m \times n\) 行列のことです。

$$J = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

ヤコビ行列は、特定の点の近傍における関数の最良の線形近似を表します。多変数ベクトル値関数における微分の概念を一般化したものです。

主要な概念

ヤコビ行列式

ヤコビ行列が正方行列（\(m = n\)）の場合、その行列式は深い幾何学的意味を持ちます。

一般的な座標変換

ヤコビ行列の応用

ヤコビ行列電卓の使い方

1. 関数の成分を入力する: ベクトル値関数の各成分をセミコロンで区切って入力します。例えば、\(\mathbf{F}(x,y) = (x^2+y, xy)\) の場合は x^2 + y; x*y と入力します。指数には ^、乗算には * を使い、sin, cos, exp, ln, sqrt などの標準的な関数が使用できます。
2. 変数を指定する: 変数名をカンマで区切って入力します（例: x, y または r, t）。変数の数によってヤコビ行列の列数が決まります。
3. 評価点を入力する（任意）: ヤコビ行列を数値的に評価するための座標値を入力します。pi や e などの定数も使用可能です。
4. 「ヤコビ行列を計算」をクリックする: 記号的なヤコビ行列、すべての偏微分、行列式（正方行列の場合）、固有値、およびステップバイステップの解決策が表示されます。
5. 可視化を確認する: 2×2 のヤコビ行列の場合、行列が元のグリッド、単位円、および基底ベクトルをどのように変換するかを示すインタラクティブなグリッド変形を表示できます。「グリッド」、「単位円」、「両方表示」を切り替えて確認できます。

計算例: 極座標

極座標から直交座標への変換 \(F(r, \theta) = (r\cos\theta,\; r\sin\theta)\) のヤコビ行列を求めます。

ステップ 1: 偏微分を計算します: \(\frac{\partial F_1}{\partial r} = \cos\theta\), \(\frac{\partial F_1}{\partial \theta} = -r\sin\theta\), \(\frac{\partial F_2}{\partial r} = \sin\theta\), \(\frac{\partial F_2}{\partial \theta} = r\cos\theta\)。

ステップ 2: 組み立てます: \(J = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\)

ステップ 3: 行列式: \(\det(J) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r\)。 これが、極座標における面積要素が \(r\,dr\,d\theta\) となる理由です。

他の概念との関係

ヤコビ行列は、数学における多くの基本概念と結びついています。

• 勾配（グラディエント）: スカラー関数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) の場合、ヤコビ行列は 1 × n の行ベクトルとなり、これは勾配 \(\nabla f\) の転置に相当します。
• ヘッセ行列: ヘッセ行列は勾配のヤコビ行列です: \(H(f) = J(\nabla f)\)。
• 発散（ダイバージェンス）と回転（カール）: 発散はヤコビ行列のトレースであり、回転は非対角の反対称成分に関係します。
• 連鎖律（チェインルール）: 合成関数の場合、\(J(\mathbf{G} \circ \mathbf{F}) = J(\mathbf{G}) \cdot J(\mathbf{F})\) となり、連鎖律はヤコビ行列の行列の積として表されます。

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