逆行列電卓
MiniWebtoolの逆行列計算ツールで、2×2から6×6までの正方行列の逆行列を求められます。ガウス・ジョルダン法の計算過程と行列式で可逆性を説明し、求めた逆行列との積が単位行列になるか確認できます。
使い方がわからないときはAIに聞く
2×2 から 6×6 までの正方行列を入力すると、ガウス・ジョルダン消去法による逆行列、行列式、そして A と A⁻¹ の積が I になることの確認を求めます。
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逆行列電卓
逆行列計算機は、掃き出し法（ガウス・ジョルダン消去法）を使用して、任意の正方行列の逆行列を算出し、すべての行操作のステップを逐次表示します。2×2、3×3、4×4、5×5、または6×6の行列を入力すると、丸め誤差のない分数演算で正確な逆行列を取得できます。このツールは行列式も計算し、A × A⁻¹ = I であることを確認して結果を検証します。
一目でわかる
逆行列電卓は、ガウス・ジョルダン法を使い、2×2から6×6の正方行列の逆行列を求めます。すべての行基本変形、行列式、A × A⁻¹が単位行列になることの確認を表示します。
| 機能 | できること | 向いている用途 |
|---|---|---|
| 行列の大きさと要素 | プラス・マイナスボタンで2×2から6×6に設定します。要素には整数、小数、1/3や-5/2のような分数を入力できます。 | 教科書の問題にある正確な値を入力するとき |
| 正確な値または小数 | 分数演算で丸め誤差なく計算し、逆行列を正確な分数または小数で表示します。 | 授業で指定された形式の答えが必要なとき |
| ガウス・ジョルダンの手順 | [A|I]を[I|A⁻¹]に行基本変形し、各操作を表示します。手順をクリックして進むか、Playを押せます。 | 消去法を学ぶとき |
| 検証 | 行列式を計算し、A × A⁻¹ = Iを確認します。行列式が0の特異行列には逆行列がないと報告します。 | 答えを確認し、逆行列のない行列を見分けるとき |
| ヒートマップと例 | 各要素の大きさと符号をヒートマップで示します。2×2、3×3、対称、4×4、特異行列、分数の計算例があります。 | 大きな逆行列の概要をつかむとき |
逆行列とは何ですか？
正方行列 \(A\) の逆行列（\(A^{-1}\) と表記）は、以下を満たす唯一の行列です：
$$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I$$
ここで \(I\) は単位行列です。正則行列（行列式がゼロでない行列）のみが逆行列を持ちます。
掃き出し法を用いた逆行列の求め方
ステップ 1. +/− ボタンを使用して正方行列のサイズ（2×2から6×6）を選択するか、クイック例をクリックしてプリセット行列を読み込みます。
ステップ 2. グリッドに行列の値を入力します。整数、小数、または 1/3 や -5/2 のような分数を入力できます。Tab、Enter、または矢印キーを使用してセル間を移動します。対角セルは青色で強調表示されます。
ステップ 3. 「逆行列を計算」をクリックします。電卓は行列に単位行列を並べた拡大行列 [A|I] を作成し、掃き出し法を適用して [I|A⁻¹] へと変形させます。
ステップ 4. 正確な分数形式と小数形式の両方で逆行列を確認します。タブを使用して表示を切り替えることができます。ヒートマップの視覚化により、各要素の大きさと符号を一目で把握できます。
ステップ 5. 各行操作をクリックしてステップバイステップの解決策を確認するか、再生ボタンを押してアニメーション表示を見ます。検証セクションで A × A⁻¹ = I であることを確認できます。
2×2 行列の逆行列公式
2×2 行列 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) の逆行列は以下の通りです：
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
この公式は \(ad - bc \neq 0\) の場合にのみ機能します。より大きな行列の場合、掃き出し法（この電卓で使用されている方法）が標準的な手法となります。
逆行列の計算方法
| 手法 | 仕組み | 用途 |
|---|---|---|
| 掃き出し法（ガウス・ジョルダン消去法） | [A|I] を行簡約して [I|A⁻¹] にする | 汎用、すべてのサイズ |
| 2×2 の公式 | \(\frac{1}{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) | 素早い 2×2 の計算 |
| 余因子行列法 | \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)\) | 理論的、記号計算 |
| LU分解 | A = LU と分解し、LUX = I を解く | 数値計算、巨大な行列 |
逆行列の性質
| 性質 | 公式 |
|---|---|
| 対合 | \((A^{-1})^{-1} = A\) |
| 転置 | \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\) |
| スカラー倍 | \((kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}\) |
| 積 | \((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\) |
| 行列式 | \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\) |
逆行列の応用
よくある質問
逆行列とは何ですか？
正方行列 A の逆行列（A⁻¹ と表記）とは、A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I（I は単位行列）を満たす唯一の行列のことです。行列式がゼロでない正方行列（正則行列）のみが逆行列を持ちます。
掃き出し法で逆行列を求めるにはどうすればよいですか？
A の横に単位行列を並べて拡大行列 [A|I] を作成します。次に行操作を適用して左側を単位行列に変形します。すると、右側が自動的に A⁻¹ になります。これは、各行操作が基本行列を左から掛けることと同等だからです。
行列が逆行列を持たないのはどのような場合ですか？
行列式がゼロのとき、その行列は特異行列（非正則行列）であり、逆行列を持ちません。これは行または列が線形従属である場合、つまり1つの行が他の行の組み合わせで書ける場合に起こります。掃き出し法の過程では、ピボットがゼロになることで現れます。
行列式と逆行列の関係は何ですか？
行列が行列式がゼロでない場合に限り、逆行列を持ちます。2×2行列 [[a,b],[c,d]] の場合、逆行列は (1/det) × [[d,-b],[-c,a]] です（det = ad - bc）。より大きな行列の場合、余因子行列を用いた公式 A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A) があります。
正方行列でない行列に逆行列はありますか？
正方行列でない行列には、真の両側逆行列は存在しません。ただし、左逆行列（列フルランクの場合）や右逆行列（行フルランクの場合）を持つことがあります。ムーア・ペンローズの擬似逆行列は、この概念をすべての行列に一般化したものです。
このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合：
"逆行列電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/逆行列計算機/）、MiniWebtool、https://MiniWebtool.com/
MiniWebtool チーム作成。最終更新: 2026-04-09
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