高精度極坐標到直角坐標轉換器

將坐標從極坐標系 (r, θ) 轉換為笛卡爾直角坐標系 (x, y)，精度可調節從1到1000位小數！具有分步解決方案和使用mpmath的真正任意精度算術。

高精度極坐標到直角坐標轉換器

歡迎使用 高精度極坐標到直角坐標轉換器。本工具可將極坐標 (r, θ) 精確轉換為直角坐標 (x, y)，並支援最高1000位小數。相較於一般僅能提供約15–16位精度的計算機，本工具特別適合需要高精度的科學研究、工程分析與高等數學學習。

高精度優勢

高精度運算：藉由 mpmath 任意精度浮點庫，本工具可在每個步驟中維持極高精度，避免標準雙精度浮點數 (double) 的累積誤差，特別適用於對結果極為敏感的計算。

本高精度極坐標轉換器的主要特色

雙角度單位：可使用度 (degrees) 或弧度 (radians) 作為角度輸入。
可調整的高精度：可自行設定 1–1000 位小數，或從常見預設值 (5、10、20、50、100、200、500、1000) 中選擇。
真正的任意精度運算：不同於標準計算機的有限精度，本工具使用任意精度三角函數，適合科研與進階工程應用。
分步說明：自動列出從角度轉換到計算 x、y 以及驗證的每一個步驟，方便檢查與教學。
自動驗證：可將計算後的 (x, y) 再轉回極坐標，檢查是否與原始 r、θ 一致。
學習導向：透過詳盡步驟與公式，幫助理解極坐標與直角坐標之間的關係。

什麼是高精度計算？

高精度計算 指的是遠超出一般雙精度浮點 (約15–16位有效數字) 的數值運算。本工具支援最多 1000 位小數，適合用於：

科學研究：天文、物理模擬、對誤差極度敏感的運算。
工程應用：導航、雷達、精密量測與信號處理。
理論數學：複分析、幾何與座標變換相關的精細計算。
電腦圖學：多次變換後仍需保留精度的旋轉與縮放。
機器人與控制：高精度位置與姿態計算、路徑規劃。

認識極坐標與直角坐標

極坐標 (r, θ)

在極坐標系中，點以 (r, θ) 表示：

r：點到原點的距離（半徑）。
θ：由正 x 軸起，逆時針方向量測的角度，可用度或弧度表示。

直角坐標 (x, y)

在直角坐標系中，同一點以 (x, y) 表示：

x：沿水平方向（x 軸）的距離。
y：沿垂直方向（y 軸）的距離。

轉換公式

從極坐標 $(r, \theta)$ 轉換為直角坐標 $(x, y)$ 時，使用以下公式：

x 坐標： $$x = r \cos(\theta)$$
y 坐標： $$y = r \sin(\theta)$$

若角度以度為單位，請先透過 $$\theta_{\text{radians}} = \theta_{\text{degrees}} \times \frac{\pi}{180}$$ 轉換為弧度，再代入上述公式。

如何使用本轉換器

在「半徑 (r)」欄位輸入非負數。
在「角度 (θ)」欄位輸入角度數值。
於「角度單位」下拉選單中選擇「度」或「弧度」。
在「精度」欄位輸入 1–1000 之間的整數，或從建議列表中選擇。
按下 「計算」 按鈕，即可取得 x、y 的高精度結果與完整推導步驟。

常見應用情境

物理：圓周運動、波動分析、電磁場分布。
工程：天線輻射方向、雷達掃描、訊號相位與振幅分析。
數學與幾何：以極形式表示複數、向量長度與方向的轉換。
電腦圖學：物件繞原點旋轉、弧線與圓形繪製、粒子特效。
導航與機器人：從測距與方位資料轉換出地圖座標，用於導航與定位。

特殊情況與範例

θ = 0° (0 rad)： 點落在正 x 軸上 → $(r, 0)$。
θ = 90° (π/2 rad)： 點落在正 y 軸上 → $(0, r)$。
θ = 180° (π rad)： 點落在負 x 軸上 → $(-r, 0)$。
θ = 270° (3π/2 rad)： 點落在負 y 軸上 → $(0, -r)$。
r = 0： 無論角度為何，點皆位於原點 → $(0, 0)$。

為什麼選擇本高精度轉換器？

手動計算或使用一般計算機進行多次三角轉換既耗時又容易出錯。本工具可以讓流程更輕鬆：

精度可控：可根據需求選擇 1–1000 位小數。
科研等級準確度：適合對誤差非常敏感的場景。
操作簡單：介面直觀，快速輸入即可得到結果。
學習輔助：透過分步解說與圖形化輸出，有助於教學展示。
內建驗證機制：透過將結果轉回極坐標來檢查是否與原始輸入相符。

延伸閱讀

若想更深入了解極坐標與直角坐標，可參考以下連結：

引用此內容、頁面或工具為：

"高精度極坐標到直角坐標轉換器" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/極坐標到直角坐標轉換器/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2025年11月21日

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半徑 (r):
角度 (θ):
角度單位:
精度:	小數位數請輸入 1–1000 的整數，或從建議清單中選擇

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