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向量計算機

計算向量的點積、外積、長度、單位向量、夾角與投影等。附逐步解題與互動立體圖。

免費使用無需註冊2026年1月更新
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快速範例
1 輸入向量
分量以逗號分隔
雙向量運算時必填
2 選擇運算項目

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向量計算機

歡迎使用我們的向量計算機，這是一個提供向量運算詳細分步解法的綜合工具。無論您是學習線性代數的學生、處理力和速度的工程師，還是任何需要進行向量數學計算的人，本計算機都能提供準確的結果與清晰的解釋。

什麼是向量？

向量是一個既有大小（長度）又有方向的數學對象。向量通常表示為稱為分量的有序數字列表。例如，一個 3D 向量可以寫成 [3, 4, 5]，表示沿 x 軸移動 3 個單位，沿 y 軸移動 4 個單位，以及沿 z 軸移動 5 個單位。

向量在物理學（代表力、速度、加速度）、電腦圖形學（3D 變換、光照）、機器學習（特徵向量、嵌入）以及許多其他領域中都是基礎工具。

支援的向量運算

長度（量值）

向量的長度（也稱為量值或範數）衡量向量有多長。對於向量 A = [a, b, c]：

長度公式
$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

單位向量

單位向量的長度為 1，且與原始向量的方向相同。其計算方法是將每個分量除以其長度：

單位向量公式
$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

點積（純量積）

兩個向量的點積會產生一個純量（單個數字）。它衡量一個向量在另一個向量方向上的延伸程度：

點積公式
$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

關鍵屬性：如果點積為零，則向量互相垂直。正值表示它們指向相似的方向；負值則表示方向相反。

叉積（向量積）

兩個 3D 向量的叉積會產生一個垂直於兩個輸入向量的新向量。其長度等於由這些向量構成的平行四邊形的面積：

叉積公式
$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

向量加法與減法

向量加法通過將對應的分量相加來組合向量。減法則找出它們之間的差異：

加法/減法
$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

向量間的夾角

兩個向量之間的夾角是透過點積與長度之間的關係求出的：

夾角公式
$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

向量投影

向量 A 在向量 B 上的投影給出了 A 在 B 方向上的分量：

投影公式
$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

純量乘法

純量乘法將向量的每個分量乘以一個數字，從而縮放向量：

純量乘法
$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

運算摘要表

運算項目 所需輸入 輸出類型 常見用途
長度 一個向量 純量 尋找距離、向量正規化
單位向量 一個向量 向量 方向表示、正規化
點積 兩個向量 純量 夾角計算、投影、相似度
叉積 兩個 3D 向量 向量 尋找垂直向量、面積計算
加法 兩個向量 向量 組合力、位移
減法 兩個向量 向量 尋找相對位置、差異
夾角 兩個向量 純量（度） 方位、相似度衡量
投影 兩個向量 向量 陰影計算、分量分解
純量乘法 一個向量 + 純量 向量 縮放、調整向量大小

如何使用此計算機

  1. 輸入向量 A： 輸入第一個向量的分量，並以逗號分隔（例如：3, 4, 0）。
  2. 輸入向量 B（如需要）： 對於雙向量運算，請輸入第二個向量。
  3. 選擇運算項目： 從下拉式選單中選擇要執行的計算。
  4. 設定精確度： 選擇結果中要保留的小數點位數。
  5. 計算： 點擊按鈕即可查看帶有分步說明的結果。

常見問題

什麼是點積？

點積（也稱為純量積或內積）是兩個向量 A 和 B 的純量值，計算方法是將對應的分量相乘並求和：A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。它等於 |A||B|cos(θ)，其中 θ 是向量之間的夾角。點積為零表示向量互相垂直。

什麼是叉積？

兩個 3D 向量 A 和 B 的叉積（也稱為向量積）會產生一個垂直於兩個輸入向量的新向量。其計算公式為 A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)。其長度 |A×B| 等於由 A 和 B 組成的平行四邊形面積。

如何計算向量長度？

向量長度（量值）是使用歐幾里得範數計算的：對於 3D 向量，|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。此公式可擴展到任何維度，方法是將所有分量的平方求和並取平方根。

什麼是單位向量？

單位向量是長度為 1 且與原始向量方向相同的向量。其計算方法是將每個分量除以向量的長度：Â = A/|A|。單位向量可用於表示不帶長度的方向。

如何找出兩個向量之間的夾角？

向量 A 和 B 之間的夾角 θ 是使用點積公式求出的：cos(θ) = (A·B)/(|A||B|)。對此值取反餘弦 (arccos) 即可得到以弧度表示的角，然後視需要乘以 180/π 轉換為度數。

什麼是向量投影？

向量 A 在 B 上的投影給出了 A 在 B 方向上的分量。公式為 proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B。純量投影（分量）為 (A·B)/|B|。這在物理學中用於分解力和速度非常有用。

向量數學的應用

其他資源

引用此內容、頁面或工具為：

"向量計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/向量計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026年1月27日

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