簡化您的工作流程：搜尋 miniwebtool。
添加插件
相關工具
向量投影計算機單位向量計算機向量外積計算機向量點積計算機向量夾角計算機旋度計算機方向導數計算機
主頁 > 數學 > 線性代數 > 向量計算機
 

向量計算機

免費的線上向量計算機，提供逐步解題過程。計算點積、外積、長度（模）、單位向量、向量夾角、投影等，並包含互動式 3D 視覺化呈現。

向量計算機
快速範例
1 輸入向量
分量以逗號分隔
雙向量運算時必填
2 選擇運算項目

Embed 向量計算機 Widget

向量計算機

歡迎使用我們的向量計算機，這是一個提供向量運算詳細分步解法的綜合工具。無論您是學習線性代數的學生、處理力和速度的工程師，還是任何需要進行向量數學計算的人，本計算機都能提供準確的結果與清晰的解釋。

什麼是向量？

向量是一個既有大小（長度）又有方向的數學對象。向量通常表示為稱為分量的有序數字列表。例如，一個 3D 向量可以寫成 [3, 4, 5]，表示沿 x 軸移動 3 個單位，沿 y 軸移動 4 個單位，以及沿 z 軸移動 5 個單位。

向量在物理學（代表力、速度、加速度）、電腦圖形學（3D 變換、光照）、機器學習（特徵向量、嵌入）以及許多其他領域中都是基礎工具。

支援的向量運算

長度（量值）

向量的長度（也稱為量值或範數）衡量向量有多長。對於向量 A = [a, b, c]：

長度公式
$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

單位向量

單位向量的長度為 1，且與原始向量的方向相同。其計算方法是將每個分量除以其長度：

單位向量公式
$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

點積（純量積）

兩個向量的點積會產生一個純量（單個數字）。它衡量一個向量在另一個向量方向上的延伸程度：

點積公式
$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

關鍵屬性：如果點積為零，則向量互相垂直。正值表示它們指向相似的方向；負值則表示方向相反。

叉積（向量積）

兩個 3D 向量的叉積會產生一個垂直於兩個輸入向量的新向量。其長度等於由這些向量構成的平行四邊形的面積：

叉積公式
$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

向量加法與減法

向量加法通過將對應的分量相加來組合向量。減法則找出它們之間的差異：

加法/減法
$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

向量間的夾角

兩個向量之間的夾角是透過點積與長度之間的關係求出的：

夾角公式
$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

向量投影

向量 A 在向量 B 上的投影給出了 A 在 B 方向上的分量：

投影公式
$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

純量乘法

純量乘法將向量的每個分量乘以一個數字，從而縮放向量：

純量乘法
$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

運算摘要表

運算項目 所需輸入 輸出類型 常見用途
長度 一個向量 純量 尋找距離、向量正規化
單位向量 一個向量 向量 方向表示、正規化
點積 兩個向量 純量 夾角計算、投影、相似度
叉積 兩個 3D 向量 向量 尋找垂直向量、面積計算
加法 兩個向量 向量 組合力、位移
減法 兩個向量 向量 尋找相對位置、差異
夾角 兩個向量 純量（度） 方位、相似度衡量
投影 兩個向量 向量 陰影計算、分量分解
純量乘法 一個向量 + 純量 向量 縮放、調整向量大小

如何使用此計算機

  1. 輸入向量 A： 輸入第一個向量的分量，並以逗號分隔（例如：3, 4, 0）。
  2. 輸入向量 B（如需要）： 對於雙向量運算，請輸入第二個向量。
  3. 選擇運算項目： 從下拉式選單中選擇要執行的計算。
  4. 設定精確度： 選擇結果中要保留的小數點位數。
  5. 計算： 點擊按鈕即可查看帶有分步說明的結果。

常見問題

什麼是點積？

點積（也稱為純量積或內積）是兩個向量 A 和 B 的純量值，計算方法是將對應的分量相乘並求和：A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。它等於 |A||B|cos(θ)，其中 θ 是向量之間的夾角。點積為零表示向量互相垂直。

什麼是叉積？

兩個 3D 向量 A 和 B 的叉積（也稱為向量積）會產生一個垂直於兩個輸入向量的新向量。其計算公式為 A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)。其長度 |A×B| 等於由 A 和 B 組成的平行四邊形面積。

如何計算向量長度？

向量長度（量值）是使用歐幾里得範數計算的：對於 3D 向量，|A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。此公式可擴展到任何維度，方法是將所有分量的平方求和並取平方根。

什麼是單位向量？

單位向量是長度為 1 且與原始向量方向相同的向量。其計算方法是將每個分量除以向量的長度：Â = A/|A|。單位向量可用於表示不帶長度的方向。

如何找出兩個向量之間的夾角？

向量 A 和 B 之間的夾角 θ 是使用點積公式求出的：cos(θ) = (A·B)/(|A||B|)。對此值取反餘弦 (arccos) 即可得到以弧度表示的角，然後視需要乘以 180/π 轉換為度數。

什麼是向量投影？

向量 A 在 B 上的投影給出了 A 在 B 方向上的分量。公式為 proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B。純量投影（分量）為 (A·B)/|B|。這在物理學中用於分解力和速度非常有用。

向量數學的應用

其他資源

引用此內容、頁面或工具為：

"向量計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/向量計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026年1月27日

您還可以嘗試我們的 AI數學解題器 GPT，通過自然語言問答解決您的數學問題。

線性代數:

常用工具:

隨機撲克牌產生器分數計算機真心話大冒險產生器百分比增長率計算機百分比增加計算機比例計算機相對標準偏差計算機斜邊計算機隨機餐點產生器kpa到psi轉換器隨機信用卡生成器最簡分數計算機🎮 遊戲靈敏度轉換器質數分解計算機羅馬數字轉換器圓計算機毛利率計算機Instagram用戶ID查詢百分比減少計算機磅轉公斤轉換器年齡計算機kg到lbs轉換器凱薩密碼工具百分比變化計算機百分比折扣計算機圖片分割器校正鈣計算機HEX計算機MAC地址查找隨機字母生成器🌡️ 體感溫度計算機複數計算機查找並替換文字加價計算機隨機選擇器Bar to PSI 轉換器太陽、月亮與上升星座計算機 🌞🌙✨平均值計算機最小公倍數計算機影片轉圖片擷取器SRT時間偏移ANC計算機反向文字隨機名稱生成器橢圓 周長計算機定期存款計算機分數百分比轉換器對數計算機簡單利息計算機AI內容檢測器二次公式計算機分數到小數計算機標準偏差計算機 - 高精度商和餘數計算機調整影片速度合併影片年份天數計算機 - 今天是今年的第幾天百分比誤差計算機組合計算機坡度與傾斜度計算機隨機座標產生器畢達哥拉斯定理計算機樂透號碼生成器音訊分割器可整除測試計算機📅 日期計算機CAGR計算機psi到kpa轉換器直角三角形計算機ERA計算機隨機數學題產生器剪刀石頭布產生器小字體生成器 ⁽ᶜᵒᵖʸ ⁿ ᵖᵃˢᵗᵉ⁾YouTube頻道統計心算訓練器因子計算機隨機日期生成器複利計算機FPS 轉換器小數到分數計算機賓果卡生成器移除標點符號線上工具cpm計算機百分比到ppm轉換器文字重複工具輪胎尺寸計算機⏱️ 小時計算機純利潤計算機Facebook用戶ID查詢兩點間距離計算機影片壓縮器隨機化數字棒球打擊率計算機最大公因子計算機百分比計算機填字遊戲製作器階乘計算機SRT轉換為TXT工具克到磅轉換器行數統計工具壓力轉換器星期幾計算機迷宮產生器工時計算機土星回歸計算機圖片打碼工具公因子計算機比率與百分比計算機文件大小轉換器PSI 轉 Bar 轉換器積分計算機我的幸運數字是什麼數獨產生器與求解器總和計算機刪除線文字產生器HEX轉換器速度計算機上壘率計算機隨機顏色生成器姓名靈數計算機斜率計算機OPS計算機刪除空行每局被上壘率 WHIP 計算機汽車貸款計算機愛情兼容性計算機跑步配速計算機隨機英文單字產生器隨機錦標賽對陣生成器隨機生日生成器立方根計算機考拉茲猜想計算機鋼材重量計算機隨機寫作提示產生器比率計算機獲取字符串長度角度轉換器磅到克轉換器隨機時間生成器條碼產生器發音音標轉換器質數檢查器GIF 轉 MP4 轉換器乘積符號計算機 (Pi 記號)影片分割器線性迴歸計算機線規計算機AI標點符號添加器速度轉換器YouTube收益估算器SRT合併工具十進製到十六進製轉換器排序數字厘米到英尺和英寸轉換器慣性矩計算機摩爾斯電碼生成器文本格式化工具棒球長打率計算機為影片新增浮水印圖片旋轉器小數到百分比轉換器弧長計算機樓梯計算機演講時間計算機GUID / UUID 生成器三相功率計算機保齡球計分計算機出生星期計算機常規時間到小數時間轉換器隨機貓狗名字產生器扭力轉換器 (Nm, ft-lb, kgf-cm)ASCII碼表刪除換行符科學記數法計算機英尺英寸轉換為厘米多分數計算機翻轉影片預產期計算機分數簡化騎行速度計算機歐姆定律計算機隱形文本生成器中位數計算機鋼筋計算機RC時間常數計算機月亮星座計算機汽車折舊計算機半衰期計算機體積轉換器凱利公式計算機斜率截距式計算機百分比到小數轉換器資料傳輸速率轉換器比較分數計算機YouTube縮圖下載器步數距離計算機MAC地址產生器倒立文本產生器🌐 時區轉換器螺栓扭矩計算機英里每小時轉公里每小時轉換器節到英里每小時轉換器立方公尺轉立方英尺立方英尺轉立方碼轉換器平方英尺轉平方公尺轉換器平方公尺轉平方英尺轉換器盎司轉毫升轉換器毫升轉盎司轉換器加侖轉公升轉換器公升到加侖轉換器公斤到英石轉換器英石轉公斤轉換器英吋到毫米轉換器毫米到英寸轉換器英里轉公里轉換器公里轉英里轉換器華氏度到攝氏度計算機攝氏度轉華氏度轉換器背包尺寸計算機衝浪板體積計算機網球握把尺寸計算機頭盔尺寸計算機手套尺寸計算機帽子尺寸轉換器滑雪板尺寸計算機滑雪尺寸計算機自行車尺寸計算機速通分段計時器斯特伯福計分計算機飛鏢殘局計算機板球投球經濟率計算機擊球率計算機淨得分率計算機K/D 比率計算機Elo 等級分計算機心率恢復計算機健行時間計算機划船配速計算機跑步年齡分級計算機FTP功率區間計算機Beep 測試計算機ACFT 分數計算機Wilks 與 DOTS 計算機輪圈偏移量計算機輪胎負載指數與速度等級查詢每英里成本計算機租賃買斷計算機辛烷值混合計算機二衝程機油混合計算機引擎排氣量計算機沙發過門計算機木柴考得計算機空氣清淨機cadr計算機除濕機尺寸計算機吊扇尺寸計算機窗簾尺寸計算機地毯尺寸計算機掛畫高度計算機電視安裝高度計算機電視尺寸計算機池塘容積與襯墊計算機泳池鹽量計算機泳池容積計算機熱水器尺寸計算機環氧樹脂計算機欄杆立柱間距計算機踢腳板與飾條計算機壁板計算機露臺木器染色劑計算器草籽計算機草皮計算機瀝青計算機立方碼計算機天線長度計算機電線管填充率計算機串聯並聯電容計算機感抗計算機房間照明計算機勒克斯轉流明計算機流明轉瓦特轉換器發電機功率計算機mah到wh轉換器kVA計算機安培轉瓦特計算機瓦特轉安培計算機串聯電阻計算機摩擦力計算機斜面計算機機械利益計算機聲速計算機波速計算機浮力計算機終端速度計算機德布羅意波長計算機光子能量計算機emc2計算機時間膨脹計算機克卜勒第三定律計算機逃逸速度計算機萬有引力計算機比爾-朗伯定律計算機能斯特方程式計算機滲透壓計算機沸點上升計算機凝固點下降計算機百分比組成計算機當量濃度計算機重量莫耳濃度計算機pKa到Ka轉換器亨德森-哈塞爾巴爾赫計算機理論產量計算機限量試劑計算機電子組態計算機互動式元素週期表AI教案產生器AI測驗產生器引用產生器 (APA/MLA/Chicago)出席率計算機AP分數計算機ACT分數計算機SAT分數計算機百分比轉CGPA轉換器CGPA轉百分比轉換器簡易評分器 EZ Grader養育孩子成本計算機寶寶奶量計算機尿布尺寸計算機嬰兒名字產生器寶寶眼睛顏色預測器兒童BMI百分位計算機兒童身高預測器hcg翻倍時間計算機試管嬰兒預產期計算機著床計算機中國生男生女預測器ISO 8601 日期格式化工具儒略日轉換器午睡計算機月相計算機日出日落計算機世界時鐘日期至羅馬數字轉換器退休倒數計時戒癮天數計算機半歲生日計算機紀念日計算機週數計算機小費分配計算機電子郵件行銷ROI計算機每筆潛在客戶成本計算機營運資本計算機隨機RPG角色生成器