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點到平面距離計算機

使用 MiniWebtool 的點到平面距離計算工具，求出點到平面的最短距離。座標與平面係數會產生垂直距離及垂足，並以 3D 圖示和逐步計算呈現。

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點到平面的距離，沿法向量度量：d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / |n|

在下方輸入點的座標和平面的係數 A、B、C、D，即可求出距離、垂足，並附逐步解題過程。

嘗試範例：

基礎 (1,2,3) → 2x−y+2z−5=0 原點 → z=5 平面 (3,−1,4) → x+y+z=6 (5,5,5) → x+2y−2z+3=0
P 點坐標
π 平面方程：Ax + By + Cz + D = 0
Ax + By + Cz + D = 0

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點到平面距離計算機

歡迎使用 點到平面距離計算機 — 這是一個互動式的 3D 幾何工具，可計算點到平面的最短垂直距離，並提供逐步公式解析、垂足坐標、可拖拽的 3D 視覺化視圖以及詳細的幾何分析。無論您是學生、工程師還是數學愛好者，此工具都能讓 3D 距離計算變得即時且具象化。

點到平面距離公式

點 \(P(x_0, y_0, z_0)\) 到平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\) 的垂直（最短）距離為：

點到平面距離
$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

其中：

  • \(A, B, C\) 是平面 法向量 的分量
  • \(D\) 是平面方程中的常數
  • \((x_0, y_0, z_0)\) 是點的坐標
  • 分母 \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\) 是 法向量的模（長度）

理解公式

為什麼這個公式有效？

該距離公式源於將平面上任意一點到點 P 的向量投影到平面的單位法向量上。如果 Q 是平面上的任意一點，則垂直距離為：

$$d = |(\vec{QP}) \cdot \hat{n}| = \frac{|\vec{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

由於 \(\vec{n} = (A, B, C)\) 且平面上任何點 Q 都滿足 \(Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D = 0\)，因此點積簡化為 \(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\)。

有向距離

去掉絕對值後，您將得到 有向距離：

有向距離
$$d_{\text{signed}} = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
  • 正值：點與法向量位於平面的同一側
  • 負值：點位於相反側
  • 零：點正好位於平面上

垂足

垂足 是平面上距離給定點最近的點。它是通過從 P 沿著法向量的反方向移動一段等於有向距離的長度而找到的：

垂足
$$F = P - \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \vec{n}$$

其中 \(\vec{n} = (A, B, C)\) 是法向量。參數 \(t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}\) 表示我們必須從 P 沿法向量方向移動多遠才能到達平面。

如何使用此計算機

  1. 輸入點坐標： 輸入 3D 空間中點的 x₀, y₀, z₀。支援負數和小數。
  2. 輸入平面方程： 輸入平面 Ax + By + Cz + D = 0 的 A, B, C, D。A, B, C 中至少有一個必須非零。
  3. 設置精確度： 選擇結果的小數點位數。
  4. 點擊計算： 查看距離、垂足、單位法向量、逐步解答和互動式 3D 視覺化。
  5. 操作 3D 視圖： 拖拽視覺化圖形以旋轉並探索幾何關係。

相關距離公式

公式描述維度
點到平面\(d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)3D
點到直線 (2D)\(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)2D
點到點\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)3D
平行平面\(d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)3D

常見應用

電腦圖形學與遊戲開發

點到平面距離是 碰撞檢測 的基礎，用於判斷物體是否與表面相交。它還用於 平截頭體剔除 (Frustum Culling) 以確定哪些物體對攝像機可見，以及 陰影映射 (Shadow Mapping) 演算法中。

工程與 CAD

工程師使用此計算進行 公差分析（確保零件符合規格）、表面偏差測量 以及製造中的 品質控制。CNC 工具機依靠點到平面距離來進行刀具路徑計算。

物理與導航

在物理學中，此公式有助於計算從點電荷到導電平面的距離，或飛機在傾斜地形表面上方的高度。GPS 系統使用類似的計算來相對於參考平面進行定位。

機器學習與資料科學

在支援向量機 (SVM) 中，類別之間的間距被計算為數據點到分離超平面的距離。這個概念自然地從 3D 公式擴展到更高維度。

常見問題解答

點到平面的距離公式是什麼？

點 P(x₀, y₀, z₀) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的垂直距離為 d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)。這給出了最短距離，該距離始終與平面垂直。

什麼是點到平面的垂足？

垂足是平面上距離給定點最近的點。它是通過沿法向量將點投影到平面上找到的：F = P − t·n，其中 t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²) 且 n = (A, B, C)。

點到平面的有向距離是什麼意思？

有向距離表示點位於平面的哪一側。正值表示與法向量同側，負值表示異側，零表示點在平面上。這在碰撞檢測和半空間分類中非常有用。

如何定義平面方程 Ax + By + Cz + D = 0？

係數 A、B、C 構成平面的法向量，D 決定平面的位置。給定平面上一點 Q 和法向量 (A, B, C)，則 D = −(Ax_Q + By_Q + Cz_Q)。您也可以利用外積從三個不共線的點推導出方程。

這個公式適用於 2D（點到直線距離）嗎？

是的！點 (x₀, y₀) 到直線 Ax + By + C = 0 距離的 2D 模擬是 d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)。3D 公式是此概念向更高維度的直接推廣。

額外資源

引用此內容、頁面或工具為：

"點到平面距離計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/點到平面距離計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026年2月18日

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